Номер 14.4, страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.4. Какая фигура получается вращением равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований (рис. 14.5)?

Рис. 14.5

Решение:

Тело, которое получается в результате вращения плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости, называется телом вращения. В данном случае вращается равнобедренная трапеция ABCD вокруг прямой a, проходящей через середины её оснований DC и AB. Для равнобедренной трапеции такая прямая является её осью симметрии.

Проанализируем, какие поверхности образуют стороны трапеции при вращении вокруг оси a:

1. Основания трапеции DC и AB перпендикулярны оси вращения. При вращении они "заметают" два параллельных круга, которые становятся основаниями полученного тела. Радиус верхнего, меньшего, основания тела будет равен половине длины основания трапеции DC, то есть $r_1 = \frac{DC}{2}$. Радиус нижнего, большего, основания тела будет равен половине длины основания AB, то есть $r_2 = \frac{AB}{2}$. Поскольку в трапеции длины оснований различны ($AB \neq DC$), то и радиусы кругов будут разными.

2. Боковая сторона трапеции, например, BC, является отрезком, наклонённым к оси вращения. При вращении такой отрезок описывает боковую поверхность конуса. Так как трапеция равнобедренная, вторая боковая сторона AD симметрична стороне BC относительно оси a и при вращении описывает ту же самую поверхность.

В результате объединения этих поверхностей мы получаем трёхмерное тело, ограниченное двумя параллельными кругами разного радиуса (основаниями) и кривой боковой поверхностью. Такая геометрическая фигура называется усечённым конусом.

Ответ: Усечённый конус.