Номер 14.9, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.9. На листе бумаги в клетку изобразите конус, аналогичный данному на рисунке 14.4. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси и пересекающей основания этого усеченного конуса.

Рис. 14.4

Решение

Задача состоит из двух частей: сначала нужно изобразить на клетчатой бумаге усеченный конус, аналогичный представленному на рисунке, а затем построить его сечение плоскостью, которая параллельна оси конуса и пересекает оба его основания.

1. Изображение усеченного конуса.

Анализируя рисунок 14.4, можно определить размеры усеченного конуса в клетках:

• Радиус нижнего основания: $R = 3$ клетки.
• Радиус верхнего основания: $r = 2$ клетки.
• Высота конуса: $h = 4$ клетки.

Для построения сначала изобразим на сетке два основания в виде эллипсов. Нижнее основание имеет больший радиус, и его задняя часть, невидимая для наблюдателя, изображается пунктирной линией. Верхнее основание полностью видимо. Затем соединим крайние точки эллипсов прямыми линиями (образующими), чтобы получить боковую поверхность усеченного конуса.

2. Построение сечения.

Секущая плоскость по условию параллельна оси усеченного конуса. Ось конуса — это вертикальная линия, соединяющая центры его оснований. Следовательно, секущая плоскость является вертикальной.

Также плоскость пересекает оба основания. Это означает, что она проходит через внутреннюю часть конуса, не касаясь его и не проходя через ось.

Фигура, получаемая в сечении, определяется пересечением этой плоскости с поверхностями конуса:

• Пересечение с верхним и нижним основаниями (кругами) дает две параллельные прямые — хорды этих кругов.
• Пересечение с боковой поверхностью конуса дает две кривые линии. Теоретически, эти линии являются дугами гиперболы.

Таким образом, точная форма сечения — это фигура, ограниченная двумя параллельными отрезками (хордами оснований) и двумя дугами гиперболы. Однако в школьном курсе геометрии и для наглядности на чертежах такие сечения часто упрощают, изображая их в виде равнобокой трапеции. В этом случае криволинейные боковые стороны заменяются прямыми отрезками.

На рисунке ниже показан усеченный конус и его сечение (закрашено), построенное как равнобокая трапеция для наглядности.

Ответ:На рисунке выше изображен усеченный конус с радиусами оснований 3 и 2 клетки и высотой 4 клетки. Закрашенная фигура представляет собой сечение конуса плоскостью, параллельной его оси. Сечение имеет форму, близкую к равнобокой трапеции, у которой основаниями являются параллельные хорды оснований конуса, а боковые стороны лежат на боковой поверхности конуса.