Номер 14.13, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.13. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1 см. Найдите радиус большего основания этого усеченного конуса.

Дано:

Образующая усеченного конуса $l = 2$ см
Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 60^{\circ}$
Радиус меньшего основания $r = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$l = 0.02$ м
$r = 0.01$ м

Найти:

Радиус большего основания $R$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Боковые стороны этой трапеции равны образующей конуса $l$, а основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Угол при большем основании трапеции равен углу наклона образующей к плоскости основания $\alpha$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на ее большее основание. В результате мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это образующая конуса $l$;
• один из катетов — это высота усеченного конуса $h$;
• второй катет равен разности радиусов большего и меньшего оснований, то есть $(R - r)$.

Угол между гипотенузой $l$ и катетом $(R - r)$ как раз и является заданным углом $\alpha$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе) следует:

$\cos(\alpha) = \frac{R - r}{l}$

Из этого соотношения выразим искомый радиус большего основания $R$. Сначала найдем разность радиусов:

$R - r = l \cdot \cos(\alpha)$

Теперь выразим $R$:

$R = r + l \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в полученную формулу. Для удобства вычислений будем использовать исходные единицы измерения (сантиметры).

$R = 1 \text{ см} + 2 \text{ см} \cdot \cos(60^{\circ})$

Значение косинуса $60^{\circ}$ является табличным: $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} = 0.5$.

$R = 1 + 2 \cdot 0.5 = 1 + 1 = 2$ см.

Ответ: 2 см.