Номер 14.17, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.17. Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований (рис. 14.9)?

$a$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$, $F_1$.

Рис. 14.9

Решение

Для того чтобы определить, какая фигура получится при вращении, рассмотрим осевое сечение данной правильной шестиугольной усеченной пирамиды. Осевое сечение — это сечение тела плоскостью, проходящей через его ось вращения.

В данном случае осью вращения является прямая `a`, проходящая через центры правильных шестиугольников, лежащих в основаниях пирамиды. Проведем секущую плоскость через эту ось и, например, через две противоположные вершины нижнего основания, такие как `C` и `F`. Эта плоскость также пройдет через соответствующие вершины верхнего основания `C₁` и `F₁`.

В результате такого сечения мы получим равнобокую трапецию, у которой:

• Нижнее основание — это большая диагональ `CF` нижнего шестиугольника.
• Верхнее основание — это большая диагональ `C₁F₁` верхнего шестиугольника.
• Боковые стороны — это боковые ребра усеченной пирамиды `CC₁` и `FF₁`.
• Ось вращения `a` является осью симметрии этой трапеции.

Фигура, которая образуется при вращении плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости, называется телом вращения. Когда мы вращаем полученную в сечении равнобокую трапецию вокруг ее оси симметрии `a`, получается усеченный конус.

Поскольку вся правильная усеченная пирамида симметрична относительно оси `a`, ее вращение эквивалентно вращению ее осевого сечения. Таким образом, при вращении всей пирамиды мы получим усеченный конус.

Ответ: Усеченный конус.