Страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.15. Какая фигура получится при вращении правильной четырех-угольной усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований (рис. 14.8)?

$a$

$D_1$

$A_1$

$C_1$

$B_1$

$A$

$C$

$B$

Рис. 14.8

Решение

Тело вращения — это пространственная фигура, образованная вращением плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в той же плоскости. Чтобы определить, какая фигура получится в результате вращения правильной четырехугольной усеченной пирамиды, необходимо рассмотреть ее осевое сечение.

Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось вращения. В данном случае осью вращения является прямая a, проходящая через центры оснований пирамиды.

По определению, правильная четырехугольная усеченная пирамида имеет в основаниях два квадрата ($ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$), а отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям оснований. Этот отрезок и лежит на оси вращения a.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ось a и середины противоположных сторон оснований (например, сторон $BC$ и $AD$). Такое сечение представляет собой равнобокую трапецию. Высота этой трапеции равна высоте усеченной пирамиды и лежит на оси вращения a.

При вращении этой равнобокой трапеции вокруг ее оси симметрии (которая совпадает с осью a) происходит следующее:

• Нижнее основание трапеции описывает круг, который является нижним основанием тела вращения.

• Верхнее основание трапеции описывает круг меньшего радиуса, который является верхним основанием тела вращения.

• Боковые стороны трапеции (которые являются апофемами пирамиды) описывают боковую поверхность тела вращения.

Полученная в результате такого вращения пространственная фигура, ограниченная двумя параллельными кругами (основаниями) и конической поверхностью (боковой поверхностью), называется усеченным конусом.

Ответ: Усеченный конус.

14.16. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 4 см и 2 см, а боковые ребра равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры оснований (рис. 14.8).

Рис. 14.8

Дано:

Правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Сторона нижнего основания: $a = 4$ см.

Сторона верхнего основания: $b = 2$ см.

Боковое ребро: $l = 3$ см.

Найти:

Площадь поверхности вращения $S_{пов}$.

Решение:

Тело, образованное вращением усеченной пирамиды вокруг оси, проходящей через центры ее оснований, состоит из центральной части (боковой поверхности усеченного конуса) и двух оснований (кругов). Полная площадь поверхности вращения будет суммой площадей этих трех частей: $S_{пов} = S_1 + S_2 + S_{бок}$.

1. Основания тела вращения.

При вращении квадратных оснований пирамиды вокруг их центров образуются круги. Радиусы этих кругов равны расстоянию от центра квадрата до его вершины, то есть половине диагонали соответствующего квадрата.

Найдем радиус $r_2$ нижнего, большего основания тела вращения. Сторона нижнего квадрата $a = 4$ см, его диагональ $d_2 = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. Тогда радиус:

$r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Площадь нижнего основания $S_2$ равна:

$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (2\sqrt{2})^2 = 8\pi$ см².

Найдем радиус $r_1$ верхнего, меньшего основания тела вращения. Сторона верхнего квадрата $b = 2$ см, его диагональ $d_1 = b\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Тогда радиус:

$r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Площадь верхнего основания $S_1$ равна:

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$ см².

2. Боковая поверхность тела вращения.

Боковая поверхность тела вращения образуется при вращении боковых ребер пирамиды. Поскольку все боковые ребра равны и находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, они описывают боковую поверхность усеченного конуса. Радиусы оснований этого усеченного конуса — это найденные нами $r_1$ и $r_2$, а его образующая $L$ равна боковому ребру пирамиды, то есть $L = l = 3$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)L$

Подставляя значения, получаем:

$S_{бок} = \pi(\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \cdot 3 = \pi(3\sqrt{2}) \cdot 3 = 9\pi\sqrt{2}$ см².

3. Полная площадь поверхности вращения.

Сложим площади двух оснований и боковой поверхности, чтобы найти полную площадь поверхности тела вращения:

$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_{бок} = 2\pi + 8\pi + 9\pi\sqrt{2} = 10\pi + 9\pi\sqrt{2}$ см².

Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки:

$S_{пов} = \pi(10 + 9\sqrt{2})$ см².

Ответ: $\pi(10 + 9\sqrt{2})$ см².

14.17. Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной усеченной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований (рис. 14.9)?

$a$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$, $F_1$.

Рис. 14.9

Решение

Для того чтобы определить, какая фигура получится при вращении, рассмотрим осевое сечение данной правильной шестиугольной усеченной пирамиды. Осевое сечение — это сечение тела плоскостью, проходящей через его ось вращения.

В данном случае осью вращения является прямая `a`, проходящая через центры правильных шестиугольников, лежащих в основаниях пирамиды. Проведем секущую плоскость через эту ось и, например, через две противоположные вершины нижнего основания, такие как `C` и `F`. Эта плоскость также пройдет через соответствующие вершины верхнего основания `C₁` и `F₁`.

В результате такого сечения мы получим равнобокую трапецию, у которой:

• Нижнее основание — это большая диагональ `CF` нижнего шестиугольника.
• Верхнее основание — это большая диагональ `C₁F₁` верхнего шестиугольника.
• Боковые стороны — это боковые ребра усеченной пирамиды `CC₁` и `FF₁`.
• Ось вращения `a` является осью симметрии этой трапеции.

Фигура, которая образуется при вращении плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости, называется телом вращения. Когда мы вращаем полученную в сечении равнобокую трапецию вокруг ее оси симметрии `a`, получается усеченный конус.

Поскольку вся правильная усеченная пирамида симметрична относительно оси `a`, ее вращение эквивалентно вращению ее осевого сечения. Таким образом, при вращении всей пирамиды мы получим усеченный конус.

Ответ: Усеченный конус.

14.18. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 2 см и 1 см, боковые ребра равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры оснований (рис. 14.9).

Рис. 14.9

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

Сторона большего основания, $a = 2$ см.

Сторона меньшего основания, $a_1 = 1$ см.

Боковое ребро, $l = 3$ см.

Перевод в систему СИ не требуется, так как все величины даны в сантиметрах.

Найти:

$S$ - площадь поверхности вращения пирамиды.

Решение:

Тело, полученное при вращении правильной усеченной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований, представляет собой усеченный конус, к основаниям которого примыкают два круга. Полная поверхность этого тела вращения состоит из площади двух круговых оснований и площади боковой поверхности усеченного конуса.

1. Найдем радиусы оснований тела вращения. Поскольку основания пирамиды — правильные шестиугольники, радиусы окружностей, описанных около них, равны сторонам этих шестиугольников. Эти радиусы и будут радиусами оснований усеченного конуса.

Радиус большего основания: $R = a = 2$ см.

Радиус меньшего основания: $R_1 = a_1 = 1$ см.

2. Найдем площади оснований тела вращения (кругов).

Площадь большего основания: $S_{осн1} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь меньшего основания: $S_{осн2} = \pi R_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности тела вращения. Боковая поверхность образуется при вращении боковых ребер пирамиды. Таким образом, она представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Образующая этого усеченного конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды $l$.

Образующая усеченного конуса: $L = l = 3$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R + R_1)L$.

Подставим известные значения:

$S_{бок} = \pi(2 + 1) \cdot 3 = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi$ см$^2$.

4. Найдем полную площадь поверхности вращения как сумму площадей двух оснований и боковой поверхности.

$S = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

$S = 4\pi + \pi + 9\pi = 14\pi$ см$^2$.

Ответ: $14\pi$ см$^2$.

14.19. Найдите площадь боковой поверхности купола юрты (рис. 14.10) в форме усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 5 м и 1 м, а высота равна 2 м.

Рис. 14.10

Дано:

Купол юрты имеет форму усеченного конуса.

Диаметр большего основания $d_1 = 5$ м.

Диаметр меньшего основания $d_2 = 1$ м.

Высота $h = 2$ м.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Площадь боковой поверхности купола $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R + r)l$

где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $l$ — образующая усеченного конуса.

Сначала найдем радиусы оснований:

Радиус большего основания: $R = \frac{d_1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ м.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{d_2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ м.

Теперь необходимо найти длину образующей $l$. Образующую можно найти с помощью теоремы Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой усеченного конуса $h$, разностью радиусов оснований $(R - r)$ и самой образующей $l$, которая является гипотенузой этого треугольника.

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$

Подставим известные значения:

$R - r = 2.5 - 0.5 = 2$ м.

$l = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ м.

Теперь, когда все компоненты известны, мы можем вычислить площадь боковой поверхности купола:

$S_{бок} = \pi(2.5 + 0.5) \cdot 2\sqrt{2} = \pi \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\pi$ м$^2$.

Ответ: Площадь боковой поверхности купола юрты равна $6\sqrt{2}\pi$ м$^2$.

14.20. Какая фигура получится при вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины его противоположных сторон (рис. 14.11)? Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны шестиугольника равны 1 см.

Рис. 14.11

Какая фигура получится при вращении правильного шестиугольника вокруг прямой, проходящей через середины его противолежащих сторон?

При вращении правильного шестиугольника вокруг оси, проходящей через середины двух противолежащих сторон, образуется тело вращения. Поверхность этого тела можно представить как комбинацию поверхностей более простых фигур. Она состоит из боковых поверхностей четырех одинаковых усеченных конусов и боковых поверхностей четырех одинаковых конусов. Более наглядно, фигура имеет наибольший диаметр в центральной части и сужается к концам, которые заканчиваются не плоскостями, а вершинами конусов, лежащими на оси вращения. Центральная часть фигуры образована двумя парами усеченных конусов, соединенных по их большим основаниям. "Крышки" сверху и снизу этой фигуры образованы четырьмя конусами, чьи вершины лежат на оси вращения.

Ответ: Получится тело вращения, поверхность которого состоит из четырех боковых поверхностей усеченных конусов и четырех боковых поверхностей конусов.

Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны шестиугольника равны 1 см.

Дано:
Правильный шестиугольник
Сторона шестиугольника $l = 1$ см
Ось вращения $a$ проходит через середины противолежащих сторон.

Найти:
Площадь поверхности фигуры вращения $S$.

Решение:
Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр шестиугольника находится в начале координат (0,0), а ось вращения совпадает с осью $OY$. Сторона шестиугольника $l=1$ см. В такой системе координат вершины правильного шестиугольника будут иметь следующие координаты:

• $А(1; 0)$
• $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$
• $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$
• $D(-1; 0)$
• $E(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$
• $F(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Ось вращения $OY$ проходит через середины горизонтальных сторон $BC$ и $EF$.

Площадь поверхности полученного тела вращения равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением каждой из шести сторон шестиугольника вокруг оси $OY$.

$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{CD} + S_{DE} + S_{EF} + S_{FA}$

1. Найдем площадь поверхности, образованной вращением наклонных сторон (например, $AB$).
Сторона $AB$ соединяет точки $A(1; 0)$ и $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. При вращении вокруг оси $OY$ она образует боковую поверхность усеченного конуса.Радиусы оснований этого усеченного конуса равны x-координатам точек $A$ и $B$: $R = x_A = 1$ см и $r = x_B = \frac{1}{2}$ см.Образующая усеченного конуса равна длине стороны шестиугольника: $L = l = 1$ см.Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{усеч.кон.} = \pi(R+r)L$.$S_{AB} = \pi(1 + \frac{1}{2}) \cdot 1 = \frac{3}{2}\pi$ см².В силу симметрии, стороны $AF$, $CD$ и $DE$ образуют поверхности с такой же площадью:$S_{AB} = S_{FA} = S_{CD} = S_{DE} = \frac{3}{2}\pi$ см².Суммарная площадь этих четырех поверхностей: $S_1 = 4 \cdot \frac{3}{2}\pi = 6\pi$ см².

2. Найдем площадь поверхности, образованной вращением горизонтальных сторон (например, $BC$).
Сторона $BC$ соединяет точки $B(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $C(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. Она пересекает ось вращения $OY$ в своей середине $M(0; \frac{\sqrt{3}}{2})$.При вращении отрезка $MB$ образуется боковая поверхность конуса с вершиной в точке $M$ (на оси вращения). Радиус основания этого конуса равен $r_{кон.} = x_B = \frac{1}{2}$ см, а образующая равна длине отрезка $MB$, $L_{кон.} = \frac{l}{2} = \frac{1}{2}$ см.Площадь боковой поверхности конуса: $S_{кон.} = \pi r_{кон.} L_{кон.}$.$S_{MB} = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$ см².Отрезок $MC$ образует поверхность такого же конуса.Таким образом, вся сторона $BC$ образует поверхность из двух конусов с общей вершиной на оси вращения:$S_{BC} = S_{MB} + S_{MC} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ см².Сторона $EF$ симметрична стороне $BC$ и образует поверхность с такой же площадью: $S_{EF} = \frac{\pi}{2}$ см².Суммарная площадь этих двух поверхностей: $S_2 = S_{BC} + S_{EF} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$ см².

3. Найдем общую площадь поверхности.
$S = S_1 + S_2 = 6\pi + \pi = 7\pi$ см².

Ответ: $S = 7\pi$ см².