Номер 14.18, страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.18. В правильной шестиугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 2 см и 1 см, боковые ребра равны 3 см. Найдите площадь поверхности вращения этой пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры оснований (рис. 14.9).

Рис. 14.9

Дано:

Правильная шестиугольная усеченная пирамида.

Сторона большего основания, $a = 2$ см.

Сторона меньшего основания, $a_1 = 1$ см.

Боковое ребро, $l = 3$ см.

Перевод в систему СИ не требуется, так как все величины даны в сантиметрах.

Найти:

$S$ - площадь поверхности вращения пирамиды.

Решение:

Тело, полученное при вращении правильной усеченной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований, представляет собой усеченный конус, к основаниям которого примыкают два круга. Полная поверхность этого тела вращения состоит из площади двух круговых оснований и площади боковой поверхности усеченного конуса.

1. Найдем радиусы оснований тела вращения. Поскольку основания пирамиды — правильные шестиугольники, радиусы окружностей, описанных около них, равны сторонам этих шестиугольников. Эти радиусы и будут радиусами оснований усеченного конуса.

Радиус большего основания: $R = a = 2$ см.

Радиус меньшего основания: $R_1 = a_1 = 1$ см.

2. Найдем площади оснований тела вращения (кругов).

Площадь большего основания: $S_{осн1} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь меньшего основания: $S_{осн2} = \pi R_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

3. Найдем площадь боковой поверхности тела вращения. Боковая поверхность образуется при вращении боковых ребер пирамиды. Таким образом, она представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Образующая этого усеченного конуса $L$ равна длине бокового ребра пирамиды $l$.

Образующая усеченного конуса: $L = l = 3$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R + R_1)L$.

Подставим известные значения:

$S_{бок} = \pi(2 + 1) \cdot 3 = \pi \cdot 3 \cdot 3 = 9\pi$ см$^2$.

4. Найдем полную площадь поверхности вращения как сумму площадей двух оснований и боковой поверхности.

$S = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

$S = 4\pi + \pi + 9\pi = 14\pi$ см$^2$.

Ответ: $14\pi$ см$^2$.