Номер 14.25, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.25. Вращением графика какой функции можно получить поверхность, изображенную на рисунке 14.16?

Рис. 14.16

Решение

Изображенная на рисунке поверхность является поверхностью вращения, так как она обладает осевой симметрией относительно оси $z$. Поверхности вращения образуются путем вращения плоской кривой (графика функции одной переменной) вокруг некоторой оси, в данном случае — оси $z$.

Чтобы найти эту функцию, рассмотрим сечение поверхности любой плоскостью, проходящей через ось вращения $z$. Например, рассмотрим сечение в плоскости $Oxz$, где $y=0$. Профиль поверхности в этой плоскости является графиком некоторой функции $z = f(x)$. Вращая этот график для $x \ge 0$ вокруг оси $z$, мы получим всю исходную поверхность.

Проанализируем вид этого графика-профиля $z=f(x)$ при $x \ge 0$:

1. В центре, при $x=0$, функция имеет локальный максимум.

2. При увеличении расстояния $x$ от центра, значение функции $z$ колеблется, проходя через ноль, достигая локального минимума и так далее. Это указывает на наличие тригонометрической составляющей (синус или косинус).

3. Амплитуда (размах) этих колебаний уменьшается по мере удаления от центра. Это явление называется затуханием и часто описывается экспоненциальной функцией.

Функция, которая объединяет эти свойства — колебания с затухающей амплитудой и максимумом в начальной точке — это функция затухающего косинуса. Ее общий вид:

$z(x) = A e^{-ax} \cos(bx)$

где $x$ — это расстояние от оси вращения $z$. Константы $A$, $a$ и $b$ определяют начальную амплитуду, скорость затухания и частоту колебаний соответственно. Судя по графику, все эти константы положительны. Для простоты можно положить $A=1$.

Таким образом, вращая график функции $z(x) = e^{-ax} \cos(bx)$ для $x \ge 0$ вокруг оси $z$, мы получаем изображенную поверхность. Уравнение самой поверхности в декартовых координатах будет $z = e^{-a\sqrt{x^2+y^2}} \cos(b\sqrt{x^2+y^2})$, так как расстояние от точки $(x, y)$ до оси $z$ равно $r = \sqrt{x^2+y^2}$.

Ответ:

Поверхность можно получить вращением вокруг оси $z$ графика функции затухающего косинуса, например, функции вида $z(x) = e^{-ax}\cos(bx)$, где $x \ge 0$ представляет собой расстояние от оси вращения, а $a > 0$ и $b > 0$ — некоторые постоянные.