Номер 14.26, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.26. Ведро имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого 30 см и 20 см, а образующая 30 см. Сколько краски нужно для покраски с обеих сторон такого ведра, если на $1 \text{ м}^2$ поверхности требуется 300 г краски?

Дано:

Форма ведра: усеченный конус.

Диаметр большего основания: $d_1 = 30$ см.

Диаметр меньшего основания: $d_2 = 20$ см.

Образующая: $l = 30$ см.

Расход краски: $q = 300$ г/м².

Переведем данные в систему СИ:

$d_1 = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$.

$d_2 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$.

$l = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$.

Найти:

Массу краски $m$ для покраски ведра с обеих сторон.

Решение:

1. Площадь поверхности, которую нужно покрасить, состоит из площади дна (меньшего основания) и площади боковой поверхности. Так как покраска производится с обеих сторон (снаружи и изнутри), итоговую площадь нужно удвоить.

2. Найдем радиусы оснований из заданных диаметров:

Радиус большего основания: $r_1 = d_1 / 2 = 0.3 \text{ м} / 2 = 0.15 \text{ м}$.

Радиус меньшего основания (дна): $r_2 = d_2 / 2 = 0.2 \text{ м} / 2 = 0.1 \text{ м}$.

3. Вычислим площадь поверхности ведра (с одной стороны). Она складывается из площади дна и площади боковой поверхности.

Площадь дна вычисляется по формуле площади круга:

$S_{дна} = \pi r_2^2 = \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.01\pi \text{ м}^2$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (0.15 \text{ м} + 0.1 \text{ м}) \cdot 0.3 \text{ м} = \pi \cdot 0.25 \text{ м} \cdot 0.3 \text{ м} = 0.075\pi \text{ м}^2$.

4. Общая площадь поверхности одной стороны ведра:

$S_{1} = S_{дна} + S_{бок} = 0.01\pi \text{ м}^2 + 0.075\pi \text{ м}^2 = 0.085\pi \text{ м}^2$.

5. Общая площадь для покраски с обеих сторон:

$S_{общ} = 2 \cdot S_{1} = 2 \cdot 0.085\pi \text{ м}^2 = 0.17\pi \text{ м}^2$.

6. Рассчитаем необходимую массу краски, зная, что расход составляет 300 г на 1 м²:

$m = S_{общ} \cdot q = 0.17\pi \text{ м}^2 \cdot 300 \text{ г/м}^2 = 51\pi \text{ г}$.

7. Вычислим приближенное численное значение, приняв $\pi \approx 3.14159$:

$m \approx 51 \cdot 3.14159 \approx 160.22 \text{ г}$.

Ответ: для покраски ведра с обеих сторон потребуется примерно 160.2 г краски.