Номер 14.28, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.28. Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра, если диаметры его оснований 28 см и 20 см, а высота 24 см? Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расхода на швы)?

Дано:

Ведро в форме усеченного конуса

Диаметр большего основания: $d_1 = 28$ см

Диаметр меньшего основания: $d_2 = 20$ см

Высота: $h = 24$ см

В системе СИ:

$d_1 = 0.28$ м

$d_2 = 0.20$ м

$h = 0.24$ м

Найти:

1. Размеры развертки боковой поверхности ведра.

2. Общую площадь материала $S_{полн}$ в дм², необходимого для изготовления ведра.

Решение:

Размеры развертки боковой поверхности ведра

Ведро имеет форму усеченного конуса. Развертка его боковой поверхности представляет собой сектор кольца. Для определения ее размеров необходимо найти радиусы дуг и их длины.

Сначала найдем радиусы оснований ведра:

Радиус большего основания: $R = d_1 / 2 = 28 / 2 = 14$ см.

Радиус меньшего основания: $r = d_2 / 2 = 20 / 2 = 10$ см.

Далее найдем образующую $l$ усеченного конуса (боковую сторону ведра). Рассмотрим осевое сечение ведра, которое является равнобокой трапецией. Образующая $l$ будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами, равными высоте ведра $h$ и разности радиусов $R-r$.

По теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{24^2 + (14 - 10)^2} = \sqrt{576 + 4^2} = \sqrt{576 + 16} = \sqrt{592}$ см.

Упростим корень: $592 = 16 \cdot 37$, следовательно, $l = \sqrt{16 \cdot 37} = 4\sqrt{37}$ см. Эта величина является шириной сектора кольца развертки.

Радиусами дуг развертки являются образующие полного конуса ($l_1$) и малого конуса ($l_2$), который отсекается от полного. Из подобия треугольников в осевом сечении полного конуса получаем соотношение:

$\frac{l_1}{R} = \frac{l_2}{r} = \frac{l_1 - l_2}{R - r} = \frac{l}{R - r}$

Подставим известные значения:

$\frac{l_1}{14} = \frac{l}{R - r} = \frac{4\sqrt{37}}{14 - 10} = \frac{4\sqrt{37}}{4} = \sqrt{37}$

Отсюда находим радиус внешней дуги развертки: $l_1 = 14\sqrt{37}$ см.

Аналогично для радиуса внутренней дуги:

$\frac{l_2}{10} = \sqrt{37} \implies l_2 = 10\sqrt{37}$ см.

Длины дуг развертки равны длинам окружностей оснований ведра:

Длина внешней дуги: $C_1 = 2\pi R = 2\pi \cdot 14 = 28\pi$ см.

Длина внутренней дуги: $C_2 = 2\pi r = 2\pi \cdot 10 = 20\pi$ см.

Ответ: Развертка боковой поверхности ведра представляет собой сектор кольца, у которого радиус внешней дуги равен $14\sqrt{37}$ см, радиус внутренней дуги равен $10\sqrt{37}$ см, длина внешней дуги — $28\pi$ см, а длина внутренней дуги — $20\pi$ см.

Количество материала на изготовление ведра

Общая площадь материала $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади дна $S_{дна}$ (меньшего основания).

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (14 + 10) \cdot 4\sqrt{37} = 96\pi\sqrt{37}$ см².

Площадь дна ведра (круга с радиусом $r$):

$S_{дна} = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см².

Суммарная площадь материала:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{дна} = 96\pi\sqrt{37} + 100\pi = \pi (96\sqrt{37} + 100)$ см².

Для получения численного ответа подставим приближенные значения $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{37} \approx 6.08276$:

$S_{полн} \approx 3.14159 \cdot (96 \cdot 6.08276 + 100) = 3.14159 \cdot (583.945 + 100) = 3.14159 \cdot 683.945 \approx 2148.68$ см².

Вопрос требует дать ответ в квадратных дециметрах. Учитывая, что 1 дм² = 100 см², переведем полученную площадь:

$S_{полн} = \frac{2148.68}{100} = 21.4868$ дм².

Округлим результат до сотых:

$S_{полн} \approx 21.49$ дм².

Ответ: На изготовление ведра нужно затратить примерно 21.49 дм² материала.