Задания, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

По аналогии с рассмотренными случаями расположения сферы и плоскости
самостоятельно рассмотрите случаи взаимного расположения сферы и прямой.

Взаимное расположение сферы и прямой в пространстве определяется соотношением между радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до прямой.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямая $l$. Расстояние от точки $O$ до прямой $l$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на прямую $l$. Обозначим это расстояние как $d$.

Существует три возможных случая взаимного расположения сферы и прямой, которые аналогичны случаям взаимного расположения окружности и прямой на плоскости.

Случай 1. Расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса

В этом случае $d > R$.

Для любой точки $M$, принадлежащей прямой $l$, расстояние от нее до центра сферы $O$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle OHM$ (где $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $l$). По теореме Пифагора: $OM = \sqrt{OH^2 + HM^2} = \sqrt{d^2 + HM^2}$.

Поскольку $d > R$, то $d^2 > R^2$. Следовательно, для любой точки $M$ на прямой имеем: $OM = \sqrt{d^2 + HM^2} > \sqrt{R^2 + HM^2} \ge R$.

Это означает, что каждая точка прямой удалена от центра сферы на расстояние, большее чем радиус. Таким образом, у прямой и сферы нет общих точек.

Ответ: Если расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса ($d>R$), то прямая и сфера не пересекаются.

Случай 2. Расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу

В этом случае $d = R$.

Рассмотрим расстояние $OM$ от центра сферы $O$ до произвольной точки $M$ на прямой $l$. Как и в предыдущем случае, $OM = \sqrt{d^2 + HM^2}$.

Подставляя $d = R$, получаем $OM = \sqrt{R^2 + HM^2}$.

Если точка $M$ совпадает с точкой $H$ (основанием перпендикуляра), то отрезок $HM$ имеет нулевую длину ($HM = 0$), и тогда $OM = \sqrt{R^2 + 0} = R$. Это означает, что точка $H$ принадлежит сфере.

Если точка $M$ не совпадает с $H$, то $HM > 0$, и $OM = \sqrt{R^2 + HM^2} > R$. Это означает, что любая другая точка прямой находится вне сферы.

Следовательно, прямая и сфера имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к сфере, а их общая точка — точкой касания.

Ответ: Если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу ($d=R$), то прямая и сфера имеют одну общую точку (прямая касается сферы).

Случай 3. Расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса

В этом случае $d < R$.

Мы ищем точки $M$ на прямой $l$, для которых расстояние до центра сферы $O$ равно радиусу $R$, то есть $OM = R$.

Используя формулу $OM = \sqrt{d^2 + HM^2}$, составляем уравнение: $R = \sqrt{d^2 + HM^2}$.

Возведем обе части в квадрат: $R^2 = d^2 + HM^2$.

Отсюда выразим $HM^2$: $HM^2 = R^2 - d^2$.

Так как по условию $d < R$, то $R^2 - d^2 > 0$. Следовательно, уравнение для $HM$ имеет два решения: $HM = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Это означает, что на прямой $l$ существуют две точки, $M_1$ и $M_2$, расположенные по разные стороны от точки $H$ на расстоянии $\sqrt{R^2 - d^2}$ от нее. Только эти две точки удовлетворяют условию $OM = R$ и, следовательно, являются общими точками прямой и сферы. Такая прямая называется секущей по отношению к сфере.

Ответ: Если расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса ($d