Номер 14.27, страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.27. Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах), указанные на рисунке 14.17. Сколько квадратных дециметров жести затрачено на изготовление воронки (на швы уходит 10% площади поверхности воронки)?

$\emptyset 70$

$\emptyset 20$

$\emptyset 10$

50

90

Рис. 14.17

Дано:

Воронка состоит из двух усеченных конусов.

Верхняя часть:

Диаметр большего основания $D_1 = 70$ мм

Диаметр меньшего основания $D_2 = 20$ мм

Высота $h_1 = 50$ мм

Нижняя часть:

Диаметр большего основания $D_2 = 20$ мм

Диаметр меньшего основания $D_3 = 10$ мм

Общая высота воронки $H = 90$ мм

Расход жести на швы - $10\%$ от площади поверхности воронки.

Перевод в систему СИ (дециметры, так как ответ требуется в дм²):

1 дм = 100 мм

$R_1 = D_1 / 2 = 35 \text{ мм} = 0.35 \text{ дм}$

$R_2 = D_2 / 2 = 10 \text{ мм} = 0.1 \text{ дм}$

$R_3 = D_3 / 2 = 5 \text{ мм} = 0.05 \text{ дм}$

$h_1 = 50 \text{ мм} = 0.5 \text{ дм}$

$H = 90 \text{ мм} = 0.9 \text{ дм}$

Высота нижней части $h_2 = H - h_1 = 90 - 50 = 40 \text{ мм} = 0.4 \text{ дм}$

Найти:

Общую площадь жести $S_{общ}$, затраченной на изготовление воронки, в дм².

Решение:

Площадь поверхности воронки состоит из площадей боковых поверхностей двух усеченных конусов. Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

Образующая $l$ находится по теореме Пифагора: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$, где $h$ - высота усеченного конуса.

1. Расчет для верхней части воронки (первый усеченный конус).

Найдем длину образующей $l_1$:

$l_1 = \sqrt{h_1^2 + (R_1-R_2)^2} = \sqrt{0.5^2 + (0.35-0.1)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25^2} = \sqrt{0.25 + 0.0625} = \sqrt{0.3125} \approx 0.559 \text{ дм}$

Теперь найдем площадь боковой поверхности $S_1$:

$S_1 = \pi(R_1+R_2)l_1 = \pi(0.35+0.1) \cdot \sqrt{0.3125} = 0.45\pi\sqrt{0.3125} \approx 0.45 \cdot 3.1416 \cdot 0.559 \approx 0.790 \text{ дм}^2$

2. Расчет для нижней части воронки (второй усеченный конус).

Найдем длину образующей $l_2$:

$l_2 = \sqrt{h_2^2 + (R_2-R_3)^2} = \sqrt{0.4^2 + (0.1-0.05)^2} = \sqrt{0.16 + 0.05^2} = \sqrt{0.16 + 0.0025} = \sqrt{0.1625} \approx 0.403 \text{ дм}$

Теперь найдем площадь боковой поверхности $S_2$:

$S_2 = \pi(R_2+R_3)l_2 = \pi(0.1+0.05) \cdot \sqrt{0.1625} = 0.15\pi\sqrt{0.1625} \approx 0.15 \cdot 3.1416 \cdot 0.403 \approx 0.190 \text{ дм}^2$

3. Расчет общей площади.

Площадь поверхности самой воронки $S_{воронки}$ равна сумме площадей ее частей:

$S_{воронки} = S_1 + S_2 \approx 0.790 + 0.190 = 0.980 \text{ дм}^2$

На швы уходит $10\%$ от площади поверхности. Это значит, что общая площадь затраченной жести на $10\%$ больше площади самой воронки. Таким образом, общая площадь составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от $S_{воронки}$.

$S_{общ} = S_{воронки} \cdot 1.1 = 0.980 \cdot 1.1 = 1.078 \text{ дм}^2$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $1.08 \text{ дм}^2$