Номер 14.22, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.22. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, разверткой боковой поверхности которого является половина кругового кольца, изображенного на рисунке 14.13, радиусы окружностей которого равны 1 см и 2 см.

Рис. 14.13

Дано:

Разверткой боковой поверхности усеченного конуса является половина кругового кольца.

Радиус большей окружности кольца $L = 2$ см.

Радиус меньшей окружности кольца $l = 1$ см.

Найти:

Радиусы оснований усеченного конуса, $r_1$ и $r_2$.

Решение:

Развертка боковой поверхности усеченного конуса представляет собой сектор кругового кольца. По условию, эта развертка является половиной кругового кольца, что означает, что центральный угол сектора равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Радиусы дуг развертки, $L$ и $l$, являются образующими полного конуса и той его части, которая была отсечена для получения усеченного конуса.

Длины дуг этой развертки равны длинам окружностей оснований усеченного конуса.

1. Найдем длину большей дуги развертки ($C_1$). Она представляет собой длину полуокружности с радиусом $L = 2$ см. Длина дуги сектора вычисляется по формуле $C = \alpha \cdot R$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах.

$C_1 = \pi \cdot L = \pi \cdot 2 = 2\pi$ см.

Эта длина равна длине окружности большего основания усеченного конуса с радиусом $r_1$.

$C_1 = 2\pi r_1$

$2\pi = 2\pi r_1$

Отсюда находим радиус большего основания:

$r_1 = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ см.

2. Аналогично найдем длину меньшей дуги развертки ($C_2$). Она представляет собой длину полуокружности с радиусом $l = 1$ см.

$C_2 = \pi \cdot l = \pi \cdot 1 = \pi$ см.

Эта длина равна длине окружности меньшего основания усеченного конуса с радиусом $r_2$.

$C_2 = 2\pi r_2$

$\pi = 2\pi r_2$

Отсюда находим радиус меньшего основания:

$r_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Таким образом, радиусы оснований усеченного конуса равны 1 см и 0.5 см.

Ответ: радиусы оснований усеченного конуса равны $1$ см и $0.5$ см.