Номер 14.21, страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.21. Какая фигура получится при вращении равностороннего треугольника ABC вокруг прямой, проходящей через вершину A и параллельной высоте CH (рис. 14.12)? Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны треугольника ABC равны 1 см.

Рис. 14.12

При вращении равностороннего треугольника $ABC$ вокруг прямой $a$, проходящей через вершину $A$ и параллельной высоте $CH$, образуется тело вращения. Поверхность этого тела состоит из трёх частей:

1. Боковой поверхности усечённого конуса, которая образуется при вращении стороны $BC$.

2. Боковой поверхности конуса, которая образуется при вращении стороны $AC$. Эта поверхность формирует внутреннюю полость в теле вращения.

3. Плоского основания в виде круга, которое образуется при вращении стороны $AB$.

Для нахождения площади поверхности этой фигуры, необходимо вычислить площади каждой из этих трёх частей и сложить их.

Дано:

$\triangle ABC$ — равносторонний

Сторона треугольника $s = AB = BC = AC = 1 \text{ см}$

Ось вращения $a$ проходит через $A$ и $a \parallel CH$

Найти:

Площадь поверхности фигуры вращения $S$.

Решение:

Введём систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0)$, а сторона $AB$ лежала на оси $Ox$. Тогда вершина $B$ будет иметь координаты $(1,0)$. Поскольку ось вращения $a$ проходит через $A$ и параллельна высоте $CH$, она совпадёт с осью $Oy$.

В равностороннем треугольнике высота $CH$ является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $AB$. Координаты точки $H$: $(\frac{1}{2}, 0)$.

Найдём длину высоты $CH$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ACH$:$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Таким образом, координаты вершины $C$: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Площадь полной поверхности полученной фигуры $S$ равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением сторон $BC$, $AC$ и $AB$.

1. Площадь поверхности, образованной вращением стороны BC (усечённый конус).

При вращении отрезка $BC$ вокруг оси $Oy$ образуется боковая поверхность усечённого конуса.

Радиус нижнего основания $R$ равен расстоянию от точки $B$ до оси вращения, то есть $R = AB = 1$ см.

Радиус верхнего основания $r$ равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения, то есть $r = AH = \frac{1}{2}$ см.

Образующая $l$ равна длине стороны $BC$, то есть $l = 1$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса $S_1$ вычисляется по формуле:$S_1 = \pi(R+r)l = \pi(1 + \frac{1}{2}) \cdot 1 = \frac{3\pi}{2} \text{ см}^2$.

2. Площадь поверхности, образованной вращением стороны AC (конус).

При вращении отрезка $AC$ вокруг оси $Oy$ образуется боковая поверхность конуса (вершина конуса в точке $A$ на оси вращения).

Радиус основания этого конуса $r$ равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения, то есть $r = AH = \frac{1}{2}$ см.

Образующая $l$ равна длине стороны $AC$, то есть $l = 1$ см.

Площадь боковой поверхности конуса $S_2$ вычисляется по формуле:$S_2 = \pi r l = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.

3. Площадь поверхности, образованной вращением стороны AB (круг).

При вращении отрезка $AB$ вокруг оси $Oy$ (проходящей через его конец $A$) образуется круг, который является основанием фигуры.

Радиус этого круга $R_{осн}$ равен длине отрезка $AB$, то есть $R_{осн} = 1$ см.

Площадь круга $S_3$ вычисляется по формуле:$S_3 = \pi R_{осн}^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2$.

Общая площадь поверхности.

Полная площадь поверхности фигуры вращения $S$ равна сумме найденных площадей:$S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{4\pi}{2} + \pi = 2\pi + \pi = 3\pi \text{ см}^2$.

Ответ: При вращении получается тело, поверхность которого состоит из боковой поверхности усечённого конуса, боковой поверхности конуса (образующей внутреннюю полость) и плоского круглого основания. Площадь поверхности этой фигуры равна $3\pi \text{ см}^2$.