Номер 14.14, страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.14. Основания равнобедренной трапеции равны 1 см и 2 см, боковые стороны равны 2 см. Найдите площадь поверхности вращения этой трапеции, вокруг прямой, проходящей через середины оснований.

Дано:

Равнобедренная трапеция

Меньшее основание, $b = 1$ см

Большее основание, $a = 2$ см

Боковая сторона, $l = 2$ см

Ось вращения - прямая, проходящая через середины оснований.

$b = 0.01$ м
$a = 0.02$ м
$l = 0.02$ м

Найти:

Площадь поверхности вращения $S$.

Решение:

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований, образуется тело вращения, которое представляет собой усеченный конус. Прямая, проходящая через середины оснований, является осью симметрии трапеции.

Площадь поверхности вращения этой трапеции равна полной площади поверхности получившегося усеченного конуса. Она состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего кругов).

Радиус большего основания усеченного конуса $R$ равен половине длины большего основания трапеции:

$R = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см

Радиус меньшего основания усеченного конуса $r$ равен половине длины меньшего основания трапеции:

$r = \frac{b}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см

Образующая усеченного конуса $l_{к}$ равна длине боковой стороны трапеции:

$l_{к} = l = 2$ см

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l_{к}$

Подставляем наши значения:

$S_{бок} = \pi(1 + 0.5) \cdot 2 = \pi \cdot 1.5 \cdot 2 = 3\pi$ см$^2$

Площадь большего основания (круга) $S_{осн1}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн1} = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$

Площадь меньшего основания (круга) $S_{осн2}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн2} = \pi r^2 = \pi \cdot (0.5)^2 = 0.25\pi$ см$^2$

Полная площадь поверхности вращения $S$ равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$S = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

$S = 3\pi + \pi + 0.25\pi = 4.25\pi = \frac{17}{4}\pi$ см$^2$

Ответ: $S = \frac{17}{4}\pi$ см$^2$.