Страница 90 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.5. Какая фигура получается при вращении отрезка $BC$ вокруг прямой, лежащей в одной плоскости с этим отрезком, не имеющей общих точек, не параллельной и не перпендикулярной этому отрезку (рис. 14.6)?

Рис. 14.6

Решение

Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры вокруг прямой, лежащей в плоскости этой фигуры. В данном случае вращается отрезок BC вокруг оси a.

Каждая точка отрезка BC при вращении на 360° вокруг оси a описывает окружность. Плоскости всех этих окружностей перпендикулярны оси вращения a, а их центры лежат на этой оси.

Рассмотрим движение конечных точек отрезка — B и C.

• Точка B при вращении опишет окружность с радиусом $r_B$, равным расстоянию от точки B до прямой a.
• Точка C при вращении опишет окружность с радиусом $r_C$, равным расстоянию от точки C до прямой a.

Согласно условию задачи, отрезок BC не параллелен оси вращения a. Это означает, что расстояния от его конечных точек до оси различны, то есть $r_B \neq r_C$. Следовательно, мы получаем две окружности разных радиусов, которые лежат в параллельных плоскостях. Эти окружности являются основаниями полученного тела вращения.

Сам отрезок BC в процессе вращения формирует боковую поверхность, которая соединяет эти два основания.

Пространственная фигура, ограниченная двумя параллельными кругами разных радиусов (основаниями) и частью конической поверхности, называется усеченным конусом.

Ответ: усеченный конус.

пендикулярной этому отрезку (рис. 11.5).

14.6. Радиусы оснований усеченного конуса

равны 6 см и 2 см, высота равна 3 см. Найдите образующую усеченного конуса.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса $R = 6$ см.
Радиус меньшего основания усеченного конуса $r = 2$ см.
Высота усеченного конуса $h = 3$ см.

$R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Образующую усеченного конуса $l$.

Решение:

Для нахождения образующей усеченного конуса рассмотрим его осевое сечение. Оно представляет собой равнобедренную трапецию. Боковая сторона этой трапеции является образующей конуса $l$, а высота трапеции — высотой конуса $h$.

Если из вершины меньшего основания трапеции опустить перпендикуляр на большее основание, мы получим прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника будет образующая $l$, одним катетом — высота конуса $h$, а другим катетом — разность радиусов оснований $(R-r)$.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Отсюда формула для нахождения образующей:

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2}$

Подставим известные значения в формулу. Для удобства будем использовать значения в сантиметрах.

Найдем разность радиусов:

$R - r = 6 - 2 = 4$ см.

Теперь подставим все значения в формулу для образующей:

$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

14.7. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 2 см, образующая равна 5 см. Найдите площадь поверхности этого усеченного конуса.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса, $R = 6 \text{ см}$
Радиус меньшего основания усеченного конуса, $r = 2 \text{ см}$
Образующая усеченного конуса, $l = 5 \text{ см}$

$R = 0,06 \text{ м}$
$r = 0,02 \text{ м}$
$l = 0,05 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченного конуса, $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности усеченного конуса складывается из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности усеченного конуса:
$S_{полн} = S_{бок} + S_{нижн} + S_{верхн}$

где $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности, $S_{нижн}$ – площадь нижнего (большего) основания, $S_{верхн}$ – площадь верхнего (меньшего) основания.

1. Найдем площадь нижнего основания (круга радиусом R):
$S_{нижн} = \pi R^2 = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 = 36\pi \text{ см}^2$

2. Найдем площадь верхнего основания (круга радиусом r):
$S_{верхн} = \pi r^2 = \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = 4\pi \text{ см}^2$

3. Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса по формуле:
$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (6 \text{ см} + 2 \text{ см}) \cdot 5 \text{ см} = \pi \cdot 8 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 40\pi \text{ см}^2$

4. Теперь сложим все найденные площади, чтобы получить площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 40\pi \text{ см}^2 + 36\pi \text{ см}^2 + 4\pi \text{ см}^2 = (40 + 36 + 4)\pi \text{ см}^2 = 80\pi \text{ см}^2$

Ответ: $80\pi \text{ см}^2$.

14.8. Является ли разверткой боковой поверхности усеченного конуса часть круга, изображенная на рисунке 14.7?

Рис. 14.7

Решение
Развертка боковой поверхности усеченного конуса получается из развертки полного конуса (которая является круговым сектором) путем удаления из нее развертки меньшего конуса (меньшего кругового сектора с тем же центром). В результате получается часть кругового кольца (сектор кольца).

Ключевой особенностью такой развертки является то, что ее прямые края (линии разреза, которые склеиваются для образования конуса) являются отрезками радиусов, проведенных из общего центра дуг окружностей. Если эти края продлить, они пересекутся в центре этих окружностей.

На рисунке 14.7 мы видим часть кругового кольца, у которой прямые края параллельны друг другу. Они не являются радиусами, исходящими из одной точки. При попытке свернуть такую фигуру, чтобы соединить ее прямые края, невозможно получить усеченный конус, так как верхнее и нижнее основания не будут являться окружностями, лежащими в параллельных плоскостях.

Следовательно, фигура, изображенная на рисунке, не является разверткой боковой поверхности усеченного конуса.

Ответ: Нет, не является.

14.9. На листе бумаги в клетку изобразите конус, аналогичный данному на рисунке 14.4. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси и пересекающей основания этого усеченного конуса.

Рис. 14.4

Решение

Задача состоит из двух частей: сначала нужно изобразить на клетчатой бумаге усеченный конус, аналогичный представленному на рисунке, а затем построить его сечение плоскостью, которая параллельна оси конуса и пересекает оба его основания.

1. Изображение усеченного конуса.

Анализируя рисунок 14.4, можно определить размеры усеченного конуса в клетках:

• Радиус нижнего основания: $R = 3$ клетки.
• Радиус верхнего основания: $r = 2$ клетки.
• Высота конуса: $h = 4$ клетки.

Для построения сначала изобразим на сетке два основания в виде эллипсов. Нижнее основание имеет больший радиус, и его задняя часть, невидимая для наблюдателя, изображается пунктирной линией. Верхнее основание полностью видимо. Затем соединим крайние точки эллипсов прямыми линиями (образующими), чтобы получить боковую поверхность усеченного конуса.

2. Построение сечения.

Секущая плоскость по условию параллельна оси усеченного конуса. Ось конуса — это вертикальная линия, соединяющая центры его оснований. Следовательно, секущая плоскость является вертикальной.

Также плоскость пересекает оба основания. Это означает, что она проходит через внутреннюю часть конуса, не касаясь его и не проходя через ось.

Фигура, получаемая в сечении, определяется пересечением этой плоскости с поверхностями конуса:

• Пересечение с верхним и нижним основаниями (кругами) дает две параллельные прямые — хорды этих кругов.
• Пересечение с боковой поверхностью конуса дает две кривые линии. Теоретически, эти линии являются дугами гиперболы.

Таким образом, точная форма сечения — это фигура, ограниченная двумя параллельными отрезками (хордами оснований) и двумя дугами гиперболы. Однако в школьном курсе геометрии и для наглядности на чертежах такие сечения часто упрощают, изображая их в виде равнобокой трапеции. В этом случае криволинейные боковые стороны заменяются прямыми отрезками.

На рисунке ниже показан усеченный конус и его сечение (закрашено), построенное как равнобокая трапеция для наглядности.

Ответ:На рисунке выше изображен усеченный конус с радиусами оснований 3 и 2 клетки и высотой 4 клетки. Закрашенная фигура представляет собой сечение конуса плоскостью, параллельной его оси. Сечение имеет форму, близкую к равнобокой трапеции, у которой основаниями являются параллельные хорды оснований конуса, а боковые стороны лежат на боковой поверхности конуса.

14.10. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 4 см. Через середину высоты этого усеченного конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения.

Дано:

Радиус меньшего основания усеченного конуса, $r_1 = 2$ см.

Радиус большего основания усеченного конуса, $r_2 = 4$ см.

Секущая плоскость проходит через середину высоты конуса.

Перевод в систему СИ:
$r_1 = 0.02$ м
$r_2 = 0.04$ м

Найти:

Площадь сечения, $S_{сеч}$.

Решение:

Сечение, образованное плоскостью, которая параллельна основаниям усеченного конуса, представляет собой круг. Чтобы найти его площадь, нам необходимо определить его радиус, который мы обозначим как $r_{сеч}$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно имеет форму равнобокой трапеции. Радиусы оснований конуса $r_1$ и $r_2$ являются половинами параллельных сторон (оснований) этой трапеции.

Поскольку секущая плоскость проведена ровно посередине высоты конуса, радиус получившегося сечения $r_{сеч}$ будет равен среднему арифметическому радиусов оснований $r_1$ и $r_2$. Это следует из свойства средней линии трапеции. В осевом сечении линия, соответствующая сечению, является средней линией трапеции, а ее половина, отсчитанная от оси конуса, и есть искомый радиус.

Найдем радиус сечения по формуле: $r_{сеч} = \frac{r_1 + r_2}{2}$

Подставим числовые значения: $r_{сеч} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Площадь сечения (которое является кругом) вычисляется по формуле: $S = \pi \cdot r^2$

Вычислим площадь получившегося сечения: $S_{сеч} = \pi \cdot (r_{сеч})^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см$^2$.

Ответ: $9\pi$ см$^2$.

шегося сечения.

14.11. Имеет ли усеченный конус: а) центр симметрии; б) оси симметрии; в) плоскости симметрии?

а) центр симметрии

Центром симметрии фигуры называется такая точка $C$, что для любой точки $A$ фигуры симметричная ей точка $A'$ относительно центра $C$ также принадлежит этой фигуре. Усеченный конус — это тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Осью усеченного конуса является прямая, проходящая через центры его оснований.

Предположим, что усеченный конус имеет центр симметрии. В силу осевой симметрии конуса, этот центр должен лежать на его оси. Обозначим радиусы оснований как $R$ и $r$ (где $R \neq r$), а высоту — $h$. Расположим конус так, чтобы его ось совпадала с осью $Oz$, а центр большего основания находился в начале координат $O(0, 0, 0)$. Тогда центр меньшего основания будет в точке $O_1(0, 0, h)$.

Пусть точка $C(0, 0, z_c)$ является центром симметрии. Возьмем произвольную точку $A$ на окружности большего основания, например, $A(R, 0, 0)$. Симметричная ей точка $A'$ относительно $C$ имеет координаты $A'(2 \cdot 0 - R, 2 \cdot 0 - 0, 2z_c - 0)$, то есть $A'(-R, 0, 2z_c)$.

Точка $A'$ должна принадлежать усеченному конусу. Расстояние от точки $A'$ до оси $Oz$ равно $R$. Единственные точки конуса, удаленные от оси на расстояние $R$, лежат на окружности большего основания, то есть в плоскости $z=0$. Следовательно, z-координата точки $A'$ должна быть равна нулю: $2z_c = 0$, откуда $z_c = 0$. Таким образом, если центр симметрии и существует, то он должен совпадать с центром большего основания $O(0, 0, 0)$.

Теперь проверим, является ли точка $O(0, 0, 0)$ центром симметрии. Возьмем точку $B$ на окружности меньшего основания, например, $B(r, 0, h)$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно начала координат, имеет координаты $B'(-r, 0, -h)$. Так как высота усеченного конуса $h > 0$, то z-координата точки $B'$ отрицательна ($-h < 0$), в то время как все точки усеченного конуса имеют неотрицательные z-координаты (от $0$ до $h$). Значит, точка $B'$ не принадлежит конусу.

Следовательно, усеченный конус не имеет центра симметрии (за исключением вырожденного случая цилиндра, когда $R=r$, но в общем случае для усеченного конуса $R \neq r$).

Ответ: Нет, усеченный конус не имеет центра симметрии.

б) оси симметрии

Осью симметрии фигуры называется такая прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой.

Усеченный конус является телом вращения. Прямая, проходящая через центры его оснований, является его осью вращения. При повороте усеченного конуса вокруг этой оси на любой угол он совмещается сам с собой. Следовательно, эта прямая является осью симметрии.

Рассмотрим возможность существования других осей симметрии. Если бы существовала ось симметрии, перпендикулярная оси конуса, то поворот на $180^\circ$ вокруг нее должен был бы совмещать фигуру саму с собой. Однако такой поворот поменял бы местами основания конуса. Так как радиусы оснований различны ($R \neq r$), фигура не совместится сама с собой. Любая другая ось симметрии, не совпадающая с осью конуса и не перпендикулярная ей, нарушила бы круговую симметрию оснований.

Таким образом, усеченный конус имеет только одну ось симметрии.

Ответ: Да, усеченный конус имеет одну ось симметрии — прямую, проходящую через центры его оснований.

в) плоскости симметрии

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость, что для любой точки $A$ фигуры симметричная ей точка $A'$ относительно этой плоскости также принадлежит этой фигуре.

Рассмотрим любую плоскость, проходящую через ось усеченного конуса. Отражение относительно этой плоскости оставляет все точки самой плоскости на месте, а любую точку $A$ конуса, не лежащую в этой плоскости, переводит в точку $A'$, расположенную по другую сторону от плоскости. Точка $A'$ будет находиться на той же высоте и на том же расстоянии от оси конуса, что и точка $A$. Следовательно, точка $A'$ также принадлежит усеченному конусу.

Таким образом, любая плоскость, содержащая ось усеченного конуса, является его плоскостью симметрии. Поскольку таких плоскостей можно провести бесконечно много (вращая плоскость вокруг оси), усеченный конус имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.

Других плоскостей симметрии у конуса нет. Например, плоскость, перпендикулярная оси конуса, не является плоскостью симметрии, так как отражение в ней точки одного основания даст точку, не принадлежащую фигуре (как показано в пункте а).

Ответ: Да, усеченный конус имеет плоскости симметрии. Любая плоскость, проходящая через его ось, является плоскостью симметрии. Таких плоскостей бесконечно много.

14.12. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите высоту этого усеченного конуса.

Дано:
Образующая усеченного конуса $l = 2$ см.
Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$.

Перевод в систему СИ:
$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$.

Найти:
Высоту усеченного конуса $h$.

Решение:
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Такое сечение представляет собой равнобедренную трапецию, где боковые стороны равны образующей конуса $l$, а высота трапеции равна высоте конуса $h$. Угол наклона образующей к плоскости основания соответствует углу между боковой стороной трапеции и ее большим основанием.

Для нахождения высоты $h$ проведем ее из вершины меньшего основания трапеции перпендикулярно к большему основанию. В результате образуется прямоугольный треугольник, в котором:

- гипотенуза равна образующей $l$;
- один из катетов равен высоте конуса $h$;
- угол, противолежащий катету $h$, равен углу наклона образующей $\alpha = 30^\circ$.

Соотношение между сторонами и углами в этом прямоугольном треугольнике можно описать с помощью тригонометрической функции синус:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{l}$

Из этой формулы выразим искомую высоту $h$:

$h = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$h = 2 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, производим вычисление:

$h = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

14.13. Образующая усеченного конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $60^\circ$. Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 1 см. Найдите радиус большего основания этого усеченного конуса.

Дано:

Образующая усеченного конуса $l = 2$ см
Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 60^{\circ}$
Радиус меньшего основания $r = 1$ см

Перевод в систему СИ:
$l = 0.02$ м
$r = 0.01$ м

Найти:

Радиус большего основания $R$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Боковые стороны этой трапеции равны образующей конуса $l$, а основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, то есть $2R$ и $2r$. Угол при большем основании трапеции равен углу наклона образующей к плоскости основания $\alpha$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания трапеции на ее большее основание. В результате мы получим прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — это образующая конуса $l$;
• один из катетов — это высота усеченного конуса $h$;
• второй катет равен разности радиусов большего и меньшего оснований, то есть $(R - r)$.

Угол между гипотенузой $l$ и катетом $(R - r)$ как раз и является заданным углом $\alpha$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе) следует:

$\cos(\alpha) = \frac{R - r}{l}$

Из этого соотношения выразим искомый радиус большего основания $R$. Сначала найдем разность радиусов:

$R - r = l \cdot \cos(\alpha)$

Теперь выразим $R$:

$R = r + l \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в полученную формулу. Для удобства вычислений будем использовать исходные единицы измерения (сантиметры).

$R = 1 \text{ см} + 2 \text{ см} \cdot \cos(60^{\circ})$

Значение косинуса $60^{\circ}$ является табличным: $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} = 0.5$.

$R = 1 + 2 \cdot 0.5 = 1 + 1 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

14.14. Основания равнобедренной трапеции равны 1 см и 2 см, боковые стороны равны 2 см. Найдите площадь поверхности вращения этой трапеции, вокруг прямой, проходящей через середины оснований.

Дано:

Равнобедренная трапеция

Меньшее основание, $b = 1$ см

Большее основание, $a = 2$ см

Боковая сторона, $l = 2$ см

Ось вращения - прямая, проходящая через середины оснований.

$b = 0.01$ м
$a = 0.02$ м
$l = 0.02$ м

Найти:

Площадь поверхности вращения $S$.

Решение:

При вращении равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований, образуется тело вращения, которое представляет собой усеченный конус. Прямая, проходящая через середины оснований, является осью симметрии трапеции.

Площадь поверхности вращения этой трапеции равна полной площади поверхности получившегося усеченного конуса. Она состоит из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (верхнего и нижнего кругов).

Радиус большего основания усеченного конуса $R$ равен половине длины большего основания трапеции:

$R = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см

Радиус меньшего основания усеченного конуса $r$ равен половине длины меньшего основания трапеции:

$r = \frac{b}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см

Образующая усеченного конуса $l_{к}$ равна длине боковой стороны трапеции:

$l_{к} = l = 2$ см

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l_{к}$

Подставляем наши значения:

$S_{бок} = \pi(1 + 0.5) \cdot 2 = \pi \cdot 1.5 \cdot 2 = 3\pi$ см$^2$

Площадь большего основания (круга) $S_{осн1}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн1} = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$

Площадь меньшего основания (круга) $S_{осн2}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн2} = \pi r^2 = \pi \cdot (0.5)^2 = 0.25\pi$ см$^2$

Полная площадь поверхности вращения $S$ равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

$S = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

$S = 3\pi + \pi + 0.25\pi = 4.25\pi = \frac{17}{4}\pi$ см$^2$

Ответ: $S = \frac{17}{4}\pi$ см$^2$.