Страница 96 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

По аналогии с рассмотренными случаями расположения сферы и плоскости
самостоятельно рассмотрите случаи взаимного расположения сферы и прямой.

Взаимное расположение сферы и прямой в пространстве определяется соотношением между радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до прямой.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямая $l$. Расстояние от точки $O$ до прямой $l$ — это длина перпендикуляра $OH$, опущенного из точки $O$ на прямую $l$. Обозначим это расстояние как $d$.

Существует три возможных случая взаимного расположения сферы и прямой, которые аналогичны случаям взаимного расположения окружности и прямой на плоскости.

Случай 1. Расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса

В этом случае $d > R$.

Для любой точки $M$, принадлежащей прямой $l$, расстояние от нее до центра сферы $O$ можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle OHM$ (где $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $l$). По теореме Пифагора: $OM = \sqrt{OH^2 + HM^2} = \sqrt{d^2 + HM^2}$.

Поскольку $d > R$, то $d^2 > R^2$. Следовательно, для любой точки $M$ на прямой имеем: $OM = \sqrt{d^2 + HM^2} > \sqrt{R^2 + HM^2} \ge R$.

Это означает, что каждая точка прямой удалена от центра сферы на расстояние, большее чем радиус. Таким образом, у прямой и сферы нет общих точек.

Ответ: Если расстояние от центра сферы до прямой больше радиуса ($d>R$), то прямая и сфера не пересекаются.

Случай 2. Расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу

В этом случае $d = R$.

Рассмотрим расстояние $OM$ от центра сферы $O$ до произвольной точки $M$ на прямой $l$. Как и в предыдущем случае, $OM = \sqrt{d^2 + HM^2}$.

Подставляя $d = R$, получаем $OM = \sqrt{R^2 + HM^2}$.

Если точка $M$ совпадает с точкой $H$ (основанием перпендикуляра), то отрезок $HM$ имеет нулевую длину ($HM = 0$), и тогда $OM = \sqrt{R^2 + 0} = R$. Это означает, что точка $H$ принадлежит сфере.

Если точка $M$ не совпадает с $H$, то $HM > 0$, и $OM = \sqrt{R^2 + HM^2} > R$. Это означает, что любая другая точка прямой находится вне сферы.

Следовательно, прямая и сфера имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к сфере, а их общая точка — точкой касания.

Ответ: Если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу ($d=R$), то прямая и сфера имеют одну общую точку (прямая касается сферы).

Случай 3. Расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса

В этом случае $d < R$.

Мы ищем точки $M$ на прямой $l$, для которых расстояние до центра сферы $O$ равно радиусу $R$, то есть $OM = R$.

Используя формулу $OM = \sqrt{d^2 + HM^2}$, составляем уравнение: $R = \sqrt{d^2 + HM^2}$.

Возведем обе части в квадрат: $R^2 = d^2 + HM^2$.

Отсюда выразим $HM^2$: $HM^2 = R^2 - d^2$.

Так как по условию $d < R$, то $R^2 - d^2 > 0$. Следовательно, уравнение для $HM$ имеет два решения: $HM = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Это означает, что на прямой $l$ существуют две точки, $M_1$ и $M_2$, расположенные по разные стороны от точки $H$ на расстоянии $\sqrt{R^2 - d^2}$ от нее. Только эти две точки удовлетворяют условию $OM = R$ и, следовательно, являются общими точками прямой и сферы. Такая прямая называется секущей по отношению к сфере.

Ответ: Если расстояние от центра сферы до прямой меньше радиуса ($d

Какая фигура получается в сечении шара плоскостью?

Решение

При пересечении шара любой плоскостью в сечении всегда получается круг.

Дадим развернутое геометрическое объяснение. Шар — это трёхмерное тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не превышающем заданное расстояние (радиус $R$), от заданной точки (центра $O$).

Представим, что мы пересекаем шар плоскостью $\alpha$. Сечение — это множество всех точек, которые принадлежат одновременно и шару, и плоскости $\alpha$.

Линия, которая ограничивает это сечение, является пересечением поверхности шара (сферы) с плоскостью $\alpha$.

Пусть $H$ — это основание перпендикуляра, опущенного из центра шара $O$ на плоскость $\alpha$. Расстояние $OH$ от центра до плоскости обозначим как $d$.

Возьмём любую точку $M$ на линии пересечения сферы и плоскости. Поскольку точка $M$ лежит на сфере, её расстояние до центра $O$ равно радиусу шара $R$, то есть $OM = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OHM$. Он является прямоугольным, так как $OH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$, в том числе и прямой $HM$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OHM$ имеем:

$OM^2 = OH^2 + HM^2$

Отсюда можем выразить квадрат расстояния $HM$ от центра сечения $H$ до точки $M$ на его границе:

$HM^2 = OM^2 - OH^2$

Подставим наши обозначения $R$ и $d$:

$HM^2 = R^2 - d^2$

Для данной плоскости и данного шара величины $R$ и $d$ постоянны. Следовательно, расстояние $HM$ также является постоянной величиной для всех точек $M$ на линии пересечения. Обозначим это расстояние как $r = HM$.

$r = \sqrt{R^2 - d^2}$

Множество всех точек на плоскости $\alpha$, равноудаленных от точки $H$, — это окружность с центром в $H$ и радиусом $r$. Фигура, ограниченная этой окружностью, является кругом.

В зависимости от расстояния $d$ от центра шара до плоскости возможны следующие случаи:

• Если плоскость проходит через центр шара ($d=0$), то радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - 0^2} = R$. В этом случае сечением является большой круг, радиус которого равен радиусу шара.
• Если плоскость пересекает шар, но не проходит через его центр ($0 < d < R$), сечением является круг с радиусом $r < R$.
• Если плоскость касается шара ($d=R$), то радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - R^2} = 0$. Сечение вырождается в одну точку — точку касания.
• Если плоскость находится дальше от центра, чем радиус шара ($d > R$), то у шара и плоскости нет общих точек, и сечение является пустым множеством.

Ответ: В сечении шара плоскостью получается круг. Если плоскость касается шара, то сечением является точка.

Вопросы

1. Какая фигура называется сферой?

2. Что называется радиусом сферы?

3. Что называется хордой сферы?

4. Что называется диаметром сферы?

5. Вращением какой фигуры можно получить сферу?

6. Какая фигура называется шаром?

7. Что называется радиусом шара?

8. Что называется хордой шара?

9. Что называется диаметром шара?

10. Вращением какой фигуры можно получить шар?

11. Что называется поверхностью шара?

12. В каком случае сфера и плоскость не имеют общих точек?

13. В каком случае сфера и плоскость имеют одну общую точку?

14. В каком случае сфера и плоскость пересекаются по окружности?

15. Какая плоскость называется касательной плоскостью к сфере?

16. Какая прямая называется касательной прямой к сфере?

1. Какая фигура называется сферой? Сферой называется геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром сферы. Сфера является поверхностью.
Ответ: Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

2. Что называется радиусом сферы? Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой. Также радиусом называют длину этого отрезка. Все радиусы одной сферы равны между собой.
Ответ: Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой, а также его длина.

3. Что называется хордой сферы? Хордой сферы называется любой отрезок, концы которого лежат на сфере.
Ответ: Отрезок, соединяющий две точки сферы.

4. Что называется диаметром сферы? Диаметром сферы называется хорда, которая проходит через её центр. Длина диаметра равна двум радиусам.
Ответ: Хорда, проходящая через центр сферы.

5. Вращением какой фигуры можно получить сферу? Сфера является телом вращения. Её можно получить, вращая полуокружность вокруг её диаметра.
Ответ: Вращением полуокружности вокруг её диаметра.

6. Какая фигура называется шаром? Шаром называется тело, ограниченное сферой. Шар содержит все точки пространства, которые находятся на расстоянии, не превышающем радиус, от его центра, включая сам центр.
Ответ: Тело, ограниченное сферой.

7. Что называется радиусом шара? Радиусом шара называется радиус его поверхности (сферы). Это отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности.
Ответ: Радиус сферы, которая ограничивает шар.

8. Что называется хордой шара? Хордой шара называется отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара (сферы).
Ответ: Хорда его поверхности (сферы).

9. Что называется диаметром шара? Диаметром шара называется диаметр его поверхности (сферы). Это хорда, проходящая через центр шара.
Ответ: Диаметр его поверхности (сферы).

10. Вращением какой фигуры можно получить шар? Шар является телом вращения. Его можно получить, вращая полукруг вокруг его диаметра.
Ответ: Вращением полукруга вокруг его диаметра.

11. Что называется поверхностью шара? Поверхностью шара является сфера.
Ответ: Сфера.

12. В каком случае сфера и плоскость не имеют общих точек? Сфера и плоскость не имеют общих точек, если расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) больше, чем радиус сферы ($R$). Математически это записывается как $d > R$.
Ответ: Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы.

13. В каком случае сфера и плоскость имеют одну общую точку? Сфера и плоскость имеют одну общую точку (точку касания), если расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) равно радиусу сферы ($R$). Математически это записывается как $d = R$. В этом случае плоскость является касательной к сфере.
Ответ: Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы.

14. В каком случае сфера и плоскость пересекаются по окружности? Сфера и плоскость пересекаются, если расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) меньше, чем радиус сферы ($R$). Линией их пересечения является окружность. Математически это записывается как $d < R$.
Ответ: Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы.

15. Какая плоскость называется касательной плоскостью к сфере? Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.
Ответ: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.

16. Какая прямая называется касательной прямой к сфере? Касательной прямой к сфере называется прямая, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая лежит в касательной плоскости к сфере и проходит через точку касания.
Ответ: Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку.