Страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.10. Радиус сферы равен 3 см. Расстояние от точки до центра сферы равно 5 см. Найдите длину отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере.

Дано:

Радиус сферы $R = 3$ см.

Расстояние от точки до центра сферы $d = 5$ см.

Перевод в систему СИ:

$R = 0,03$ м

$d = 0,05$ м

Найти:

Длину отрезка касательной $L$.

Решение:

Пусть $O$ — центр сферы, $A$ — данная точка, а $B$ — точка касания. Отрезок $OA$ представляет собой расстояние от точки до центра сферы, и его длина равна $d = 5$ см. Отрезок $OB$ — это радиус сферы, проведенный в точку касания, его длина $R = 3$ см. Отрезок $AB$ — это касательная, длину которой, $L$, необходимо найти.

По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что угол $\angle OBA$ прямой, и, следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OAB$ сторона $OA$ является гипотенузой, а стороны $OB$ и $AB$ — катетами. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$OA^2 = OB^2 + AB^2$

Чтобы найти длину касательной $AB$, выразим ее из этой формулы:

$AB^2 = OA^2 - OB^2$

Теперь подставим известные значения:

$L^2 = 5^2 - 3^2$

$L^2 = 25 - 9$

$L^2 = 16$

Извлекая квадратный корень, находим длину отрезка касательной:

$L = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

15.11. Как расположены относительно друг друга сфера и прямая, если радиус сферы равен $R = 6 \text{ см}$, а прямая удалена от ее центра на:

а) $d = 5 \text{ см};$

б) $d = 6 \text{ см};$

в) $d = 7 \text{ см}?$

Дано:

Радиус сферы: $R = 6 \text{ см}$

Расстояние от центра сферы до прямой в каждом из случаев:

а) $d_{a} = 5 \text{ см}$

б) $d_{b} = 6 \text{ см}$

в) $d_{c} = 7 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0.06 \text{ м}$

$d_{a} = 0.05 \text{ м}$

$d_{b} = 0.06 \text{ м}$

$d_{c} = 0.07 \text{ м}$

Найти:

Определить взаимное расположение сферы и прямой для каждого случая.

Решение:

Взаимное расположение сферы и прямой зависит от соотношения между радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до прямой. Существуют три возможных случая:

1. Если расстояние до прямой меньше радиуса ($d < R$), то прямая пересекает сферу в двух различных точках. Такая прямая называется секущей.

2. Если расстояние до прямой равно радиусу ($d = R$), то прямая имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая называется касательной к сфере.

3. Если расстояние до прямой больше радиуса ($d > R$), то прямая и сфера не имеют общих точек.

Проанализируем каждый из предложенных случаев, используя радиус сферы $R = 6 \text{ см}$.

а)

Расстояние от центра сферы до прямой равно $d_{a} = 5 \text{ см}$.

Сравним расстояние $d_{a}$ с радиусом $R$: $5 \text{ см} < 6 \text{ см}$, следовательно, $d_{a} < R$.

Поскольку расстояние от центра до прямой меньше радиуса, прямая пересекает сферу в двух точках.

Ответ: Прямая и сфера пересекаются в двух точках.

б)

Расстояние от центра сферы до прямой равно $d_{b} = 6 \text{ см}$.

Сравним расстояние $d_{b}$ с радиусом $R$: $6 \text{ см} = 6 \text{ см}$, следовательно, $d_{b} = R$.

Поскольку расстояние от центра до прямой равно радиусу, прямая касается сферы в одной точке.

Ответ: Прямая касается сферы (имеет одну общую точку).

в)

Расстояние от центра сферы до прямой равно $d_{c} = 7 \text{ см}$.

Сравним расстояние $d_{c}$ с радиусом $R$: $7 \text{ см} > 6 \text{ см}$, следовательно, $d_{c} > R$.

Поскольку расстояние от центра до прямой больше радиуса, прямая и сфера не имеют общих точек.

Ответ: Прямая и сфера не имеют общих точек.

а) 3 см, б) 4 см, в) 5 см.

15.12. Радиус сферы равен 3 см. Длина отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере, равна 4 см. Найдите расстояние от данной точки до центра сферы.

Дано:

Радиус сферы $R = 3$ см

Длина отрезка касательной $L = 4$ см

Перевод в СИ:

$R = 0.03$ м

$L = 0.04$ м

Найти:

Расстояние от данной точки до центра сферы $d$.

Решение:

Пусть $О$ — центр сферы, $А$ — данная точка, из которой проведена касательная, и $В$ — точка касания на сфере. Тогда отрезок $ОВ$ — это радиус сферы, а отрезок $АВ$ — это отрезок касательной. Искомое расстояние — это длина отрезка $ОА$.

По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Это означает, что треугольник $ΔОВА$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $В$ ($\angle ОВА = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $ΔОВА$ катетами являются радиус $ОВ$ и отрезок касательной $АВ$, а гипотенузой — расстояние $ОА$.По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$OA^2 = OB^2 + AB^2$

Подставим известные значения, используя наши обозначения ($d = OA$, $R = OB$, $L = AB$):$d^2 = R^2 + L^2$$d^2 = 3^2 + 4^2$$d^2 = 9 + 16$$d^2 = 25$$d = \sqrt{25}$$d = 5$ см

Ответ: 5 см.

15.13. Радиус сферы равен 6 см.
Расстояние от точки до центра сферы равно 10 см.
Найдите длину отрезка касательной.

Дано:

Радиус сферы, $R = 6$ см

Расстояние от точки до центра сферы, $d = 10$ см

Найти:

Длину отрезка касательной, $L$

Решение:

Пусть O — центр сферы, P — точка, из которой проведена касательная, и T — точка касания на сфере. Тогда отрезок OT — это радиус сферы, отрезок OP — это расстояние от точки до центра сферы, а отрезок PT — это искомая длина касательной.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что угол $∠OTP$ является прямым, и треугольник $OPT$ — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике $OPT$:

• Катет $OT$ равен радиусу сферы: $OT = R = 6$ см.

• Катет $PT$ — это длина касательной: $PT = L$.

• Гипотенуза $OP$ — это расстояние от точки до центра: $OP = d = 10$ см.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$OP^2 = OT^2 + PT^2$

Подставим наши обозначения:

$d^2 = R^2 + L^2$

Выразим из этого уравнения длину касательной $L$:

$L^2 = d^2 - R^2$

$L = \sqrt{d^2 - R^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$L = \sqrt{10^2 - 6^2}$

$L = \sqrt{100 - 36}$

$L = \sqrt{64}$

$L = 8$ см

Ответ: 8 см.

15.14. Расстояние от точки до центра сферы равно 13 см. Длина отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере, равна 12 см. Найдите радиус сферы.

Дано:

Расстояние от точки до центра сферы, $d = 13$ см
Длина отрезка касательной, $l = 12$ см

Перевод в систему СИ:
$d = 0,13$ м
$l = 0,12$ м

Найти:

Радиус сферы, $R$.

Решение:

Пусть $O$ — центр сферы, $A$ — данная точка вне сферы, и $B$ — точка касания на сфере. Тогда расстояние от точки $A$ до центра $O$ равно $OA = d = 13$ см. Длина отрезка касательной, проведенной из точки $A$ к сфере, равна $AB = l = 12$ см. Радиус сферы, проведенный в точку касания, это отрезок $OB = R$.

По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что угол между радиусом $OB$ и касательной $AB$ прямой. Таким образом, треугольник $\triangle OBA$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OBA = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике:

• $OB = R$ (катет)
• $AB = l = 12$ см (катет)
• $OA = d = 13$ см (гипотенуза)

По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

$OA^2 = OB^2 + AB^2$

Подставим известные значения в формулу:

$13^2 = R^2 + 12^2$

Выполним вычисления:

$169 = R^2 + 144$

Теперь выразим $R^2$:

$R^2 = 169 - 144$

$R^2 = 25$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из 25:

$R = \sqrt{25}$

$R = 5$ см

Ответ: радиус сферы равен 5 см.

15.15. Как расположены между собой сфера, заданная уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 4$, и плоскость, заданная уравнением:

a) $z = 1$;

б) $z = 2$;

в) $z = 3$?

Дано:

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = 4$
Уравнения плоскостей:
а) $z = 1$
б) $z = 2$
в) $z = 3$

Найти:

Взаимное расположение сферы и каждой из плоскостей.

Решение:

Сначала определим параметры сферы. Каноническое уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$.
Данное уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ можно записать как $(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 2^2$. Следовательно, центр сферы находится в начале координат, точке $O(0, 0, 0)$, а её радиус $R = 2$.

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости необходимо найти расстояние $d$ от центра сферы до плоскости и сравнить его с радиусом $R$.
Плоскости, заданные уравнением вида $z=c$, параллельны координатной плоскости $Oxy$. Расстояние от центра сферы (начала координат) до такой плоскости равно $d = |c|$.

Сравним расстояние $d$ с радиусом $R=2$:
• Если $d < R$, плоскость пересекает сферу по окружности.
• Если $d = R$, плоскость касается сферы в одной точке.
• Если $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.

а) $z = 1$

Для плоскости $z=1$ расстояние от центра сферы равно $d = |1| = 1$.
Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 1$ и $R = 2$. Так как $d < R$, плоскость пересекает сферу.
Сечением является окружность. Чтобы найти её уравнение, подставим $z=1$ в уравнение сферы: $x^2 + y^2 + 1^2 = 4$ $x^2 + y^2 = 3$
Это уравнение окружности в плоскости $z=1$ с центром в точке $(0, 0, 1)$ и радиусом $r=\sqrt{3}$.

Ответ: Плоскость и сфера пересекаются по окружности.

б) $z = 2$

Для плоскости $z=2$ расстояние от центра сферы равно $d = |2| = 2$.
Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 2$ и $R = 2$. Так как $d = R$, плоскость касается сферы.
Чтобы найти точку касания, подставим $z = 2$ в уравнение сферы: $x^2 + y^2 + 2^2 = 4$ $x^2 + y^2 = 0$
Это уравнение имеет единственное действительное решение: $x=0$ и $y=0$. Точка касания имеет координаты $(0, 0, 2)$.

Ответ: Плоскость и сфера касаются в одной точке.

в) $z = 3$

Для плоскости $z=3$ расстояние от центра сферы равно $d = |3| = 3$.
Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 3$ и $R = 2$. Так как $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.
Если подставить $z=3$ в уравнение сферы, получим: $x^2 + y^2 + 3^2 = 4$ $x^2 + y^2 = 4 - 9$ $x^2 + y^2 = -5$
Это уравнение не имеет действительных решений, что подтверждает отсутствие точек пересечения.

Ответ: Плоскость и сфера не имеют общих точек.

15.16. Найдите радиус Земли (рис. 15.9), зная, что длина Парижского меридиана равна 40 000 км.

Рис. 15.9

Дано:

Длина Парижского меридиана $L = 40\ 000$ км.

$L = 40\ 000 \text{ км} = 40\ 000 \times 10^3 \text{ м} = 4 \times 10^7 \text{ м}$

Найти:

Радиус Земли $R$.

Решение:

Для решения задачи примем Землю за идеальный шар. Меридиан в таком случае является большой окружностью, проходящей через географические полюса Земли. Длина окружности $L$ связана с её радиусом $R$ следующей формулой:

$L = 2 \pi R$

Чтобы найти радиус Земли $R$, необходимо выразить его из данной формулы:

$R = \frac{L}{2 \pi}$

Теперь мы можем подставить известное значение длины Парижского меридиана в эту формулу и произвести вычисления:

$R = \frac{40\ 000 \text{ км}}{2 \pi}$

Примем значение числа $\pi$ примерно равным $3.14159$.

$R \approx \frac{40\ 000}{2 \times 3.14159} \approx \frac{40\ 000}{6.28318} \approx 6366.198 \text{ км}$

Округлим полученное значение до целого числа.

Ответ: радиус Земли примерно равен 6366 км.

15.17. Сколько касательных плоскостей можно провести к данной сфере через прямую, не имеющую со сферой общих точек?

Решение

Пусть дана сфера $S$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямая $l$, не имеющая со сферой общих точек. Это означает, что кратчайшее расстояние от центра сферы $O$ до прямой $l$ больше, чем радиус сферы. Обозначим это расстояние как $d$. Таким образом, выполняется условие $d > R$.

Требуется найти количество плоскостей, которые одновременно содержат прямую $l$ и касаются сферы $S$. Плоскость называется касательной к сфере, если она имеет с ней ровно одну общую точку. Это равносильно тому, что расстояние от центра сферы до этой плоскости равно ее радиусу $R$.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим построением. Проведем через центр сферы $O$ плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $l$.

Пересечением плоскости $\alpha$ со сферой $S$ является большая окружность (окружность с тем же центром $O$ и тем же радиусом $R$), назовем ее $C$.

Пересечением плоскости $\alpha$ с прямой $l$ (которая по построению перпендикулярна $\alpha$) является единственная точка. Назовем эту точку $P$. Расстояние от центра $O$ до точки $P$ и есть кратчайшее расстояние от $O$ до прямой $l$, то есть $|OP| = d$. Так как по условию $d > R$, точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$ вне окружности $C$.

Рассмотрим теперь произвольную плоскость $\pi$, которая содержит прямую $l$ и касается сферы $S$ в некоторой точке $T$.

По определению касательной плоскости, радиус $OT$, проведенный в точку касания $T$, перпендикулярен этой плоскости $\pi$.

Поскольку прямая $l$ лежит в плоскости $\pi$ ($l \subset \pi$), то радиус $OT$ должен быть перпендикулярен и прямой $l$.

Множество всех точек пространства, отрезки от которых до точки $O$ перпендикулярны прямой $l$, образует как раз построенную нами плоскость $\alpha$. Следовательно, точка касания $T$ должна лежать в плоскости $\alpha$. А так как точка $T$ также лежит на сфере, то она должна принадлежать пересечению сферы $S$ и плоскости $\alpha$, то есть большой окружности $C$.

Итак, мы установили, что любая возможная точка касания $T$ должна лежать на окружности $C$.

Касательная плоскость $\pi$ должна содержать и прямую $l$, и точку касания $T$. Прямая $l$ проходит через точку $P$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Точка $T$ также лежит в плоскости $\alpha$. Значит, плоскость $\pi$ содержит прямую $PT$, которая является линией пересечения плоскостей $\pi$ и $\alpha$.

Согласно свойству касательной плоскости, линия ее пересечения с любой другой плоскостью, проходящей через центр сферы, является касательной к окружности, получающейся в сечении сферы. В нашем случае это означает, что прямая $PT$ должна быть касательной к окружности $C$ в точке $T$.

Таким образом, задача сводится к двумерной задаче в плоскости $\alpha$: сколько касательных можно провести из точки $P$ к окружности $C$?

Поскольку точка $P$ лежит вне окружности $C$ (так как $|OP| = d > R$), из нее можно провести ровно две касательные к этой окружности. Пусть точки касания этих прямых с окружностью $C$ будут $T_1$ и $T_2$.

Каждой из этих точек касания ($T_1$ и $T_2$) соответствует единственная касательная плоскость к сфере $S$. Первая плоскость, $\pi_1$, определяется прямой $l$ и точкой $T_1$. Вторая плоскость, $\pi_2$, определяется прямой $l$ и точкой $T_2$. Эти две плоскости различны, обе касаются сферы и содержат прямую $l$. Других таких плоскостей не существует.

Следовательно, к данной сфере через прямую, не имеющую со сферой общих точек, можно провести ровно две касательные плоскости.

Ответ: 2.

15.18. Радиус сферы равен 4 см. Расстояние от данной точки до центра этой сферы равно 6 см. Найдите наименьшее и наибольшее расстояние от данной точки до точек сферы.

Дано:

Радиус сферы, $R = 4$ см.

Расстояние от данной точки до центра этой сферы, $d = 6$ см.

$R = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

$d = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

Найти:

Наименьшее расстояние от данной точки до точек сферы, $d_{min}$.

Наибольшее расстояние от данной точки до точек сферы, $d_{max}$.

Решение:

Пусть $O$ — это центр сферы, а $A$ — данная точка. По условию, радиус сферы $R = 4$ см, а расстояние от точки $A$ до центра $O$ составляет $d = OA = 6$ см.

Так как расстояние от точки до центра сферы ($d=6$ см) больше радиуса сферы ($R=4$ см), то точка $A$ находится вне сферы.

Наименьшее и наибольшее расстояния от точки $A$ до точек сферы лежат на прямой, проходящей через точку $A$ и центр сферы $O$. Эта прямая пересекает сферу в двух точках. Обозначим эти точки как $B_1$ и $B_2$.

Наименьшее расстояние $d_{min}$ будет до ближайшей к $A$ точки сферы. Эта точка ($B_1$) лежит на отрезке $OA$. Чтобы найти это расстояние, нужно из расстояния от точки $A$ до центра $O$ вычесть радиус сферы $R$.

$d_{min} = d - R$

Подставим значения:

$d_{min} = 6 \text{ см} - 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Наибольшее расстояние $d_{max}$ будет до самой удаленной от $A$ точки сферы. Эта точка ($B_2$) лежит на той же прямой, но с другой стороны от центра $O$. Чтобы найти это расстояние, нужно к расстоянию от точки $A$ до центра $O$ прибавить радиус сферы $R$.

$d_{max} = d + R$

Подставим значения:

$d_{max} = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Ответ: наименьшее расстояние от данной точки до точек сферы равно 2 см, наибольшее расстояние равно 10 см.

15.19. Наименьшее и наибольшее расстояние от данной точки, расположенной вне сферы, до точек сферы равны 4 см и 6 см. Найдите радиус сферы.

Дано:

Наименьшее расстояние от точки до сферы $l_{min} = 4$ см.

Наибольшее расстояние от точки до сферы $l_{max} = 6$ см.

Перевод в систему СИ:

$l_{min} = 0.04$ м.

$l_{max} = 0.06$ м.

Найти:

Радиус сферы $R$.

Решение:

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Пусть $P$ — данная точка, расположенная вне сферы. Расстояние от точки $P$ до центра сферы обозначим как $d = |PO|$.

Наименьшее и наибольшее расстояния от точки $P$ до точек сферы находятся на прямой, проходящей через центр сферы $O$ и точку $P$.

Пусть эта прямая пересекает сферу в точках $A$ и $B$, где $A$ — ближайшая к $P$ точка на сфере, а $B$ — наиболее удаленная.

Тогда наименьшее расстояние равно длине отрезка $PA$, а наибольшее — длине отрезка $PB$.

Исходя из расположения точек на прямой ($P$, $A$, $O$, $B$), можно записать следующие соотношения:

Наименьшее расстояние: $l_{min} = |PA| = |PO| - |OA| = d - R$.

Наибольшее расстояние: $l_{max} = |PB| = |PO| + |OB| = d + R$.

Подставим известные значения и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $d$ и $R$:

$ \begin{cases} d - R = 4 \\ d + R = 6 \end{cases} $

Для нахождения радиуса $R$ можно вычесть первое уравнение из второго:

$(d + R) - (d - R) = 6 - 4$

$d + R - d + R = 2$

$2R = 2$

$R = \frac{2}{2} = 1$ см.

Таким образом, радиус сферы равен 1 см. Для полноты решения можно также найти расстояние $d$ от точки до центра сферы, сложив два уравнения:

$(d - R) + (d + R) = 4 + 6$

$2d = 10$

$d = 5$ см.

Ответ: радиус сферы равен 1 см.

15.20.Радиус шара равен 2 см. Через конец радиуса проведена пло-скость под углом $60^\circ$ к нему. Найдите площадь сечения.

Дано:

Радиус шара $R = 2$ см.

Угол между радиусом, через конец которого проведена плоскость, и самой плоскостью $α = 60°$.

Перевод в СИ:

$R = 0,02$ м.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем радиус $OA$, где $A$ — точка на поверхности шара. Через точку $A$ проведена секущая плоскость.

Сечением шара плоскостью является круг. Обозначим радиус этого круга как $r$, а его центр как точку $C$. Нам необходимо найти площадь этого круга, которая вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \pi r^2$.

Чтобы найти радиус сечения $r$, рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$. В этом треугольнике:

• $OA$ — гипотенуза, равная радиусу шара $R = 2$ см.
• $OC$ — катет, представляющий собой расстояние от центра шара до секущей плоскости.
• $AC$ — катет, равный радиусу сечения $r$.
• $\angle OCA = 90°$, так как $OC$ — перпендикуляр к плоскости сечения.

Угол между прямой (в нашем случае радиусом $OA$) и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией радиуса $OA$ на секущую плоскость является отрезок $AC$. Следовательно, по условию задачи, угол $\angle OAC = 60°$.

Из прямоугольного треугольника $OAC$ мы можем найти катет $AC$ (радиус сечения $r$) через гипотенузу $OA$ (радиус шара $R$) и прилежащий к катету угол $\angle OAC$:

$r = AC = OA \cdot \cos(\angle OAC) = R \cdot \cos(60°)$

Подставим известные значения:

$r = 2 \text{ см} \cdot \cos(60°) = 2 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 1 \text{ см}$

Теперь, зная радиус сечения $r$, мы можем найти его площадь:

$S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$

Ответ: $\pi \text{ см}^2$.

15.21. Сколько можно провести общих касательных плоскостей к двум сферам при условии, что ни одна из них не лежит внутри другой?

Решение

Количество общих касательных плоскостей к двум сферам зависит от их взаимного расположения. Пусть даны две сферы с радиусами $R_1$ и $R_2$ и расстоянием между их центрами $d$.

Условие, что ни одна из сфер не лежит внутри другой, математически выражается как $d \ge |R_1 - R_2|$. Это неравенство охватывает несколько различных сценариев взаимного расположения сфер, для каждого из которых количество общих касательных плоскостей будет разным. Проанализируем каждый случай.

1. Сферы касаются внутренним образом

Это происходит, когда расстояние между центрами равно модулю разности радиусов: $d = |R_1 - R_2|$ (при $d \ne 0$). В этом случае сферы имеют одну общую точку касания. Через эту точку можно провести ровно одну общую касательную плоскость. Эта плоскость будет перпендикулярна линии, соединяющей центры сфер.

2. Сферы пересекаются

Этот случай имеет место, когда расстояние между центрами больше модуля разности радиусов, но меньше их суммы: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$. Сферы пересекаются по общей окружности. В этом случае можно провести бесконечное множество общих касательных плоскостей. Все они являются "внешними" и образуют боковую поверхность усеченного конуса, который огибает обе сферы.

3. Сферы касаются внешним образом

Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме радиусов: $d = R_1 + R_2$. Сферы также имеют одну общую точку касания. В этом случае существует одна "внутренняя" общая касательная плоскость, проходящая через точку касания. Кроме того, есть бесконечное множество "внешних" общих касательных плоскостей, которые образуют цилиндрическую поверхность, касающуюся обеих сфер. Таким образом, общее число касательных плоскостей бесконечно.

4. Сферы расположены одна вне другой и не касаются

Этот случай соответствует условию $d > R_1 + R_2$. Здесь существует два семейства общих касательных плоскостей. Первое семейство — "внешние" касательные плоскости, которые образуют огибающую поверхность усеченного конуса. Второе семейство — "внутренние" касательные плоскости, которые образуют огибающую поверхность двух конусов с общей вершиной. Каждое из этих семейств содержит бесконечное число плоскостей.

Поскольку в условии задачи не указано, какой именно из этих четырех случаев, удовлетворяющих условию "ни одна из них не лежит внутри другой", имеется в виду, дать однозначный численный ответ на вопрос невозможно.

Ответ:
Количество общих касательных плоскостей к двум сферам при заданном условии не является постоянной величиной. Оно зависит от их конкретного взаимного расположения. Возможны два варианта:

• 1 (одна) общая касательная плоскость, если сферы касаются внутренним образом.
• Бесконечно много общих касательных плоскостей, если сферы пересекаются, касаются внешним образом или не пересекаются, находясь одна вне другой.

15.22. Найдите геометрическое место центров сфер, которые касаются двух параллельных плоскостей.

Решение

Пусть даны две параллельные плоскости, обозначим их $\alpha$ и $\beta$. Пусть $S$ — сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

По условию, сфера $S$ касается обеих плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Условие касания сферы и плоскости заключается в том, что расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы.

Таким образом, для нашего случая должны выполняться два условия:

1. Расстояние от центра $O$ до плоскости $\alpha$ равно $R$, то есть $d(O, \alpha) = R$.

2. Расстояние от центра $O$ до плоскости $\beta$ равно $R$, то есть $d(O, \beta) = R$.

Из этих двух равенств следует, что $d(O, \alpha) = d(O, \beta)$. Это означает, что центр сферы $O$ должен быть равноудален от двух данных параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух параллельных плоскостей, является плоскость, параллельная этим плоскостям и расположенная точно посередине между ними.

Обозначим эту серединную плоскость как $\gamma$. Любая точка, принадлежащая плоскости $\gamma$, может служить центром сферы, касающейся плоскостей $\alpha$ и $\beta$. При этом радиус такой сферы будет постоянной величиной, равной половине расстояния между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Если расстояние между $\alpha$ и $\beta$ равно $h$, то радиус любой такой сферы будет $R = h/2$.

Таким образом, искомое геометрическое место центров — это плоскость $\gamma$.

Ответ: Плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая посередине между ними.

15.23. Найдите геометрическое место касательных прямых к сфере, проходящих через данную точку на этой сфере.

Решение

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и некоторая точка $A$, лежащая на этой сфере. Мы ищем геометрическое место всех прямых, которые касаются сферы в этой точке $A$.

Вспомним основное свойство касательной к сфере. Прямая является касательной к сфере в некоторой точке, если она проходит через эту точку и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку касания.

В нашем случае любая касательная прямая $l$, проходящая через точку $A$, должна удовлетворять двум условиям:

1. Прямая $l$ проходит через точку $A$.

2. Прямая $l$ перпендикулярна радиусу $OA$.

Совокупность всех прямых в пространстве, которые проходят через одну и ту же точку ($A$) и перпендикулярны одной и той же прямой (прямой, содержащей отрезок $OA$), образует плоскость.

Эта плоскость проходит через точку $A$ и имеет в качестве нормального вектора вектор радиуса $\vec{OA}$. Такая плоскость по определению является касательной плоскостью к сфере в точке $A$.

Таким образом, искомое геометрическое место — это множество всех касательных прямых, которые целиком лежат в одной плоскости.

Ответ: Касательная плоскость к сфере, проведенная в данной точке.

15.24. Найдите геометрическое место отрезков касательных прямых к сфере, проходящих через данную точку вне этой сферы.

Решение

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — данная точка, расположенная вне сферы, то есть расстояние $|OA| > R$.

Рассмотрим произвольную касательную прямую, проведенную из точки $A$ к сфере. Пусть $T$ — точка касания этой прямой со сферой. Отрезок $AT$ является отрезком касательной, о котором говорится в задаче. Нам нужно найти геометрическое место всех таких отрезков $AT$.

По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OT$ перпендикулярен отрезку касательной $AT$. Это означает, что треугольник $\triangle OTA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Так как $\triangle OTA$ — прямоугольный, то по теореме Пифагора для всех точек касания $T$ выполняется равенство: $|AT|^2 = |OA|^2 - |OT|^2$

Поскольку точка $A$ и сфера (а значит, ее центр $O$ и радиус $R$) заданы, то длины отрезков $|OA|$ и $|OT| = R$ являются постоянными величинами. Следовательно, длина отрезка касательной $|AT|$ также является постоянной величиной для всех возможных касательных, проведенных из точки $A$.

Множество всех точек касания $T$ образует на сфере окружность. Эта окружность является пересечением данной сферы со сферой, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре. Плоскость этой окружности перпендикулярна прямой $OA$.

Таким образом, искомое геометрическое место — это множество всех отрезков, соединяющих фиксированную точку $A$ с точками на окружности касания. Такое множество отрезков образует боковую поверхность прямого кругового конуса.

Вершиной этого конуса является точка $A$, а его основанием — окружность, образованная множеством всех точек касания $T$ на поверхности сферы.

Ответ: Искомое геометрическое место отрезков — это боковая поверхность конуса с вершиной в данной точке $A$ и основанием, являющимся окружностью касания на сфере.