Номер 15.11, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.11. Как расположены относительно друг друга сфера и прямая, если радиус сферы равен $R = 6 \text{ см}$, а прямая удалена от ее центра на:

а) $d = 5 \text{ см};$

б) $d = 6 \text{ см};$

в) $d = 7 \text{ см}?$

Дано:

Радиус сферы: $R = 6 \text{ см}$

Расстояние от центра сферы до прямой в каждом из случаев:

а) $d_{a} = 5 \text{ см}$

б) $d_{b} = 6 \text{ см}$

в) $d_{c} = 7 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0.06 \text{ м}$

$d_{a} = 0.05 \text{ м}$

$d_{b} = 0.06 \text{ м}$

$d_{c} = 0.07 \text{ м}$

Найти:

Определить взаимное расположение сферы и прямой для каждого случая.

Решение:

Взаимное расположение сферы и прямой зависит от соотношения между радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до прямой. Существуют три возможных случая:

1. Если расстояние до прямой меньше радиуса ($d < R$), то прямая пересекает сферу в двух различных точках. Такая прямая называется секущей.

2. Если расстояние до прямой равно радиусу ($d = R$), то прямая имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая называется касательной к сфере.

3. Если расстояние до прямой больше радиуса ($d > R$), то прямая и сфера не имеют общих точек.

Проанализируем каждый из предложенных случаев, используя радиус сферы $R = 6 \text{ см}$.

а)

Расстояние от центра сферы до прямой равно $d_{a} = 5 \text{ см}$.

Сравним расстояние $d_{a}$ с радиусом $R$: $5 \text{ см} < 6 \text{ см}$, следовательно, $d_{a} < R$.

Поскольку расстояние от центра до прямой меньше радиуса, прямая пересекает сферу в двух точках.

Ответ: Прямая и сфера пересекаются в двух точках.

б)

Расстояние от центра сферы до прямой равно $d_{b} = 6 \text{ см}$.

Сравним расстояние $d_{b}$ с радиусом $R$: $6 \text{ см} = 6 \text{ см}$, следовательно, $d_{b} = R$.

Поскольку расстояние от центра до прямой равно радиусу, прямая касается сферы в одной точке.

Ответ: Прямая касается сферы (имеет одну общую точку).

в)

Расстояние от центра сферы до прямой равно $d_{c} = 7 \text{ см}$.

Сравним расстояние $d_{c}$ с радиусом $R$: $7 \text{ см} > 6 \text{ см}$, следовательно, $d_{c} > R$.

Поскольку расстояние от центра до прямой больше радиуса, прямая и сфера не имеют общих точек.

Ответ: Прямая и сфера не имеют общих точек.