Номер 15.18, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.18. Радиус сферы равен 4 см. Расстояние от данной точки до центра этой сферы равно 6 см. Найдите наименьшее и наибольшее расстояние от данной точки до точек сферы.

Дано:

Радиус сферы, $R = 4$ см.

Расстояние от данной точки до центра этой сферы, $d = 6$ см.

$R = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

$d = 6 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

Найти:

Наименьшее расстояние от данной точки до точек сферы, $d_{min}$.

Наибольшее расстояние от данной точки до точек сферы, $d_{max}$.

Решение:

Пусть $O$ — это центр сферы, а $A$ — данная точка. По условию, радиус сферы $R = 4$ см, а расстояние от точки $A$ до центра $O$ составляет $d = OA = 6$ см.

Так как расстояние от точки до центра сферы ($d=6$ см) больше радиуса сферы ($R=4$ см), то точка $A$ находится вне сферы.

Наименьшее и наибольшее расстояния от точки $A$ до точек сферы лежат на прямой, проходящей через точку $A$ и центр сферы $O$. Эта прямая пересекает сферу в двух точках. Обозначим эти точки как $B_1$ и $B_2$.

Наименьшее расстояние $d_{min}$ будет до ближайшей к $A$ точки сферы. Эта точка ($B_1$) лежит на отрезке $OA$. Чтобы найти это расстояние, нужно из расстояния от точки $A$ до центра $O$ вычесть радиус сферы $R$.

$d_{min} = d - R$

Подставим значения:

$d_{min} = 6 \text{ см} - 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$

Наибольшее расстояние $d_{max}$ будет до самой удаленной от $A$ точки сферы. Эта точка ($B_2$) лежит на той же прямой, но с другой стороны от центра $O$. Чтобы найти это расстояние, нужно к расстоянию от точки $A$ до центра $O$ прибавить радиус сферы $R$.

$d_{max} = d + R$

Подставим значения:

$d_{max} = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$

Ответ: наименьшее расстояние от данной точки до точек сферы равно 2 см, наибольшее расстояние равно 10 см.