Номер 15.24, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.24. Найдите геометрическое место отрезков касательных прямых к сфере, проходящих через данную точку вне этой сферы.

Решение

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — данная точка, расположенная вне сферы, то есть расстояние $|OA| > R$.

Рассмотрим произвольную касательную прямую, проведенную из точки $A$ к сфере. Пусть $T$ — точка касания этой прямой со сферой. Отрезок $AT$ является отрезком касательной, о котором говорится в задаче. Нам нужно найти геометрическое место всех таких отрезков $AT$.

По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OT$ перпендикулярен отрезку касательной $AT$. Это означает, что треугольник $\triangle OTA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$.

Так как $\triangle OTA$ — прямоугольный, то по теореме Пифагора для всех точек касания $T$ выполняется равенство: $|AT|^2 = |OA|^2 - |OT|^2$

Поскольку точка $A$ и сфера (а значит, ее центр $O$ и радиус $R$) заданы, то длины отрезков $|OA|$ и $|OT| = R$ являются постоянными величинами. Следовательно, длина отрезка касательной $|AT|$ также является постоянной величиной для всех возможных касательных, проведенных из точки $A$.

Множество всех точек касания $T$ образует на сфере окружность. Эта окружность является пересечением данной сферы со сферой, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре. Плоскость этой окружности перпендикулярна прямой $OA$.

Таким образом, искомое геометрическое место — это множество всех отрезков, соединяющих фиксированную точку $A$ с точками на окружности касания. Такое множество отрезков образует боковую поверхность прямого кругового конуса.

Вершиной этого конуса является точка $A$, а его основанием — окружность, образованная множеством всех точек касания $T$ на поверхности сферы.

Ответ: Искомое геометрическое место отрезков — это боковая поверхность конуса с вершиной в данной точке $A$ и основанием, являющимся окружностью касания на сфере.