Номер 15.20, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.20.Радиус шара равен 2 см. Через конец радиуса проведена пло-скость под углом $60^\circ$ к нему. Найдите площадь сечения.

Дано:

Радиус шара $R = 2$ см.

Угол между радиусом, через конец которого проведена плоскость, и самой плоскостью $α = 60°$.

Перевод в СИ:

$R = 0,02$ м.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Проведем радиус $OA$, где $A$ — точка на поверхности шара. Через точку $A$ проведена секущая плоскость.

Сечением шара плоскостью является круг. Обозначим радиус этого круга как $r$, а его центр как точку $C$. Нам необходимо найти площадь этого круга, которая вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \pi r^2$.

Чтобы найти радиус сечения $r$, рассмотрим прямоугольный треугольник $OAC$. В этом треугольнике:

• $OA$ — гипотенуза, равная радиусу шара $R = 2$ см.
• $OC$ — катет, представляющий собой расстояние от центра шара до секущей плоскости.
• $AC$ — катет, равный радиусу сечения $r$.
• $\angle OCA = 90°$, так как $OC$ — перпендикуляр к плоскости сечения.

Угол между прямой (в нашем случае радиусом $OA$) и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией радиуса $OA$ на секущую плоскость является отрезок $AC$. Следовательно, по условию задачи, угол $\angle OAC = 60°$.

Из прямоугольного треугольника $OAC$ мы можем найти катет $AC$ (радиус сечения $r$) через гипотенузу $OA$ (радиус шара $R$) и прилежащий к катету угол $\angle OAC$:

$r = AC = OA \cdot \cos(\angle OAC) = R \cdot \cos(60°)$

Подставим известные значения:

$r = 2 \text{ см} \cdot \cos(60°) = 2 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 1 \text{ см}$

Теперь, зная радиус сечения $r$, мы можем найти его площадь:

$S_{сеч} = \pi r^2 = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$

Ответ: $\pi \text{ см}^2$.