Номер 15.26, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.26. Повторите определения окружностей, вписанных и описанных около прямоугольника, треугольника, трапеции; формулы для нахождения их радиусов.

Окружность, описанная около прямоугольника

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей.

Формула для нахождения радиуса:

Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали $d$. Если $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, то радиус вычисляется по формуле: $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Ответ: Окружность, проходящая через все вершины прямоугольника. Центр — точка пересечения диагоналей. Радиус $R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Окружность, вписанная в прямоугольник

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. В прямоугольник можно вписать окружность только в том случае, если он является квадратом (то есть его смежные стороны равны).

Формула для нахождения радиуса:

Если $a$ — сторона квадрата, то радиус $r$ вписанной окружности равен половине его стороны: $r = \frac{a}{2}$.

Ответ: Окружность, касающаяся всех сторон прямоугольника. Существует только для квадрата. Радиус $r = \frac{a}{2}$.

Окружность, описанная около треугольника

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется описанной. Около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. Её центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Формулы для нахождения радиуса:

1. Через стороны $a, b, c$ и площадь $S$: $R = \frac{abc}{4S}$.
2. Через сторону $a$ и противолежащий угол $\alpha$ (следствие из теоремы синусов): $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$.
3. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$: $R = \frac{c}{2}$.
4. Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Ответ: Окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров. Формулы радиуса: $R = \frac{abc}{4S}$ или $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника, называется вписанной. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Формулы для нахождения радиуса:

1. Через площадь $S$ и полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$: $r = \frac{S}{p}$.
2. Для прямоугольного треугольника с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$: $r = \frac{a+b-c}{2}$.
3. Для равностороннего