Номер 15.21, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.21. Сколько можно провести общих касательных плоскостей к двум сферам при условии, что ни одна из них не лежит внутри другой?

Решение

Количество общих касательных плоскостей к двум сферам зависит от их взаимного расположения. Пусть даны две сферы с радиусами $R_1$ и $R_2$ и расстоянием между их центрами $d$.

Условие, что ни одна из сфер не лежит внутри другой, математически выражается как $d \ge |R_1 - R_2|$. Это неравенство охватывает несколько различных сценариев взаимного расположения сфер, для каждого из которых количество общих касательных плоскостей будет разным. Проанализируем каждый случай.

1. Сферы касаются внутренним образом

Это происходит, когда расстояние между центрами равно модулю разности радиусов: $d = |R_1 - R_2|$ (при $d \ne 0$). В этом случае сферы имеют одну общую точку касания. Через эту точку можно провести ровно одну общую касательную плоскость. Эта плоскость будет перпендикулярна линии, соединяющей центры сфер.

2. Сферы пересекаются

Этот случай имеет место, когда расстояние между центрами больше модуля разности радиусов, но меньше их суммы: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$. Сферы пересекаются по общей окружности. В этом случае можно провести бесконечное множество общих касательных плоскостей. Все они являются "внешними" и образуют боковую поверхность усеченного конуса, который огибает обе сферы.

3. Сферы касаются внешним образом

Это происходит, когда расстояние между центрами равно сумме радиусов: $d = R_1 + R_2$. Сферы также имеют одну общую точку касания. В этом случае существует одна "внутренняя" общая касательная плоскость, проходящая через точку касания. Кроме того, есть бесконечное множество "внешних" общих касательных плоскостей, которые образуют цилиндрическую поверхность, касающуюся обеих сфер. Таким образом, общее число касательных плоскостей бесконечно.

4. Сферы расположены одна вне другой и не касаются

Этот случай соответствует условию $d > R_1 + R_2$. Здесь существует два семейства общих касательных плоскостей. Первое семейство — "внешние" касательные плоскости, которые образуют огибающую поверхность усеченного конуса. Второе семейство — "внутренние" касательные плоскости, которые образуют огибающую поверхность двух конусов с общей вершиной. Каждое из этих семейств содержит бесконечное число плоскостей.

Поскольку в условии задачи не указано, какой именно из этих четырех случаев, удовлетворяющих условию "ни одна из них не лежит внутри другой", имеется в виду, дать однозначный численный ответ на вопрос невозможно.

Ответ:
Количество общих касательных плоскостей к двум сферам при заданном условии не является постоянной величиной. Оно зависит от их конкретного взаимного расположения. Возможны два варианта:

• 1 (одна) общая касательная плоскость, если сферы касаются внутренним образом.
• Бесконечно много общих касательных плоскостей, если сферы пересекаются, касаются внешним образом или не пересекаются, находясь одна вне другой.