Номер 15.17, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.17. Сколько касательных плоскостей можно провести к данной сфере через прямую, не имеющую со сферой общих точек?

Решение

Пусть дана сфера $S$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямая $l$, не имеющая со сферой общих точек. Это означает, что кратчайшее расстояние от центра сферы $O$ до прямой $l$ больше, чем радиус сферы. Обозначим это расстояние как $d$. Таким образом, выполняется условие $d > R$.

Требуется найти количество плоскостей, которые одновременно содержат прямую $l$ и касаются сферы $S$. Плоскость называется касательной к сфере, если она имеет с ней ровно одну общую точку. Это равносильно тому, что расстояние от центра сферы до этой плоскости равно ее радиусу $R$.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим построением. Проведем через центр сферы $O$ плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $l$.

Пересечением плоскости $\alpha$ со сферой $S$ является большая окружность (окружность с тем же центром $O$ и тем же радиусом $R$), назовем ее $C$.

Пересечением плоскости $\alpha$ с прямой $l$ (которая по построению перпендикулярна $\alpha$) является единственная точка. Назовем эту точку $P$. Расстояние от центра $O$ до точки $P$ и есть кратчайшее расстояние от $O$ до прямой $l$, то есть $|OP| = d$. Так как по условию $d > R$, точка $P$ лежит в плоскости $\alpha$ вне окружности $C$.

Рассмотрим теперь произвольную плоскость $\pi$, которая содержит прямую $l$ и касается сферы $S$ в некоторой точке $T$.

По определению касательной плоскости, радиус $OT$, проведенный в точку касания $T$, перпендикулярен этой плоскости $\pi$.

Поскольку прямая $l$ лежит в плоскости $\pi$ ($l \subset \pi$), то радиус $OT$ должен быть перпендикулярен и прямой $l$.

Множество всех точек пространства, отрезки от которых до точки $O$ перпендикулярны прямой $l$, образует как раз построенную нами плоскость $\alpha$. Следовательно, точка касания $T$ должна лежать в плоскости $\alpha$. А так как точка $T$ также лежит на сфере, то она должна принадлежать пересечению сферы $S$ и плоскости $\alpha$, то есть большой окружности $C$.

Итак, мы установили, что любая возможная точка касания $T$ должна лежать на окружности $C$.

Касательная плоскость $\pi$ должна содержать и прямую $l$, и точку касания $T$. Прямая $l$ проходит через точку $P$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Точка $T$ также лежит в плоскости $\alpha$. Значит, плоскость $\pi$ содержит прямую $PT$, которая является линией пересечения плоскостей $\pi$ и $\alpha$.

Согласно свойству касательной плоскости, линия ее пересечения с любой другой плоскостью, проходящей через центр сферы, является касательной к окружности, получающейся в сечении сферы. В нашем случае это означает, что прямая $PT$ должна быть касательной к окружности $C$ в точке $T$.

Таким образом, задача сводится к двумерной задаче в плоскости $\alpha$: сколько касательных можно провести из точки $P$ к окружности $C$?

Поскольку точка $P$ лежит вне окружности $C$ (так как $|OP| = d > R$), из нее можно провести ровно две касательные к этой окружности. Пусть точки касания этих прямых с окружностью $C$ будут $T_1$ и $T_2$.

Каждой из этих точек касания ($T_1$ и $T_2$) соответствует единственная касательная плоскость к сфере $S$. Первая плоскость, $\pi_1$, определяется прямой $l$ и точкой $T_1$. Вторая плоскость, $\pi_2$, определяется прямой $l$ и точкой $T_2$. Эти две плоскости различны, обе касаются сферы и содержат прямую $l$. Других таких плоскостей не существует.

Следовательно, к данной сфере через прямую, не имеющую со сферой общих точек, можно провести ровно две касательные плоскости.

Ответ: 2.