Номер 15.15, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.15. Как расположены между собой сфера, заданная уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 4$, и плоскость, заданная уравнением:

a) $z = 1$;

б) $z = 2$;

в) $z = 3$?

Дано:

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = 4$
Уравнения плоскостей:
а) $z = 1$
б) $z = 2$
в) $z = 3$

Найти:

Взаимное расположение сферы и каждой из плоскостей.

Решение:

Сначала определим параметры сферы. Каноническое уравнение сферы с центром в точке $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$.
Данное уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ можно записать как $(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 2^2$. Следовательно, центр сферы находится в начале координат, точке $O(0, 0, 0)$, а её радиус $R = 2$.

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости необходимо найти расстояние $d$ от центра сферы до плоскости и сравнить его с радиусом $R$.
Плоскости, заданные уравнением вида $z=c$, параллельны координатной плоскости $Oxy$. Расстояние от центра сферы (начала координат) до такой плоскости равно $d = |c|$.

Сравним расстояние $d$ с радиусом $R=2$:
• Если $d < R$, плоскость пересекает сферу по окружности.
• Если $d = R$, плоскость касается сферы в одной точке.
• Если $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.

а) $z = 1$

Для плоскости $z=1$ расстояние от центра сферы равно $d = |1| = 1$.
Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 1$ и $R = 2$. Так как $d < R$, плоскость пересекает сферу.
Сечением является окружность. Чтобы найти её уравнение, подставим $z=1$ в уравнение сферы: $x^2 + y^2 + 1^2 = 4$ $x^2 + y^2 = 3$
Это уравнение окружности в плоскости $z=1$ с центром в точке $(0, 0, 1)$ и радиусом $r=\sqrt{3}$.

Ответ: Плоскость и сфера пересекаются по окружности.

б) $z = 2$

Для плоскости $z=2$ расстояние от центра сферы равно $d = |2| = 2$.
Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 2$ и $R = 2$. Так как $d = R$, плоскость касается сферы.
Чтобы найти точку касания, подставим $z = 2$ в уравнение сферы: $x^2 + y^2 + 2^2 = 4$ $x^2 + y^2 = 0$
Это уравнение имеет единственное действительное решение: $x=0$ и $y=0$. Точка касания имеет координаты $(0, 0, 2)$.

Ответ: Плоскость и сфера касаются в одной точке.

в) $z = 3$

Для плоскости $z=3$ расстояние от центра сферы равно $d = |3| = 3$.
Сравниваем расстояние с радиусом: $d = 3$ и $R = 2$. Так как $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.
Если подставить $z=3$ в уравнение сферы, получим: $x^2 + y^2 + 3^2 = 4$ $x^2 + y^2 = 4 - 9$ $x^2 + y^2 = -5$
Это уравнение не имеет действительных решений, что подтверждает отсутствие точек пересечения.

Ответ: Плоскость и сфера не имеют общих точек.