Номер 15.8, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.8. Сколько касательных плоскостей можно провести к данной сфере:

а) через точку, принадлежащую сфере;

б) через точку, расположенную внутри сферы;

в) через точку, расположенную вне сферы?

а) через точку, принадлежащую сфере

Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Через любую точку, принадлежащую сфере, можно провести только одну касательную плоскость. Эта плоскость будет перпендикулярна радиусу сферы, проведённому в точку касания. Если $O$ — центр сферы, а $A$ — точка на её поверхности, то касательная плоскость в точке $A$ является единственной плоскостью, проходящей через $A$ и перпендикулярной отрезку $OA$.

Ответ: одну.

б) через точку, расположенную внутри сферы

Любая плоскость, проходящая через точку, которая находится внутри сферы, будет пересекать эту сферу. Линией пересечения такой плоскости и сферы является окружность. Поскольку касательная плоскость по определению должна иметь со сферой только одну общую точку, то ни одна плоскость, проходящая через внутреннюю точку, не может быть касательной.

Ответ: ни одной.

в) через точку, расположенную вне сферы

Если точка $M$ расположена вне сферы, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через $M$ и касающихся сферы. Множество этих прямых образует коническую поверхность (конус), вершиной которого является точка $M$. Точки касания этих прямых со сферой образуют на поверхности сферы окружность. Каждая плоскость, которая касается этого конуса вдоль одной из его образующих (касательных прямых), будет также касаться и сферы. Так как у конуса бесконечно много образующих, то через точку $M$ можно провести бесконечно много касательных плоскостей к сфере. Все они будут огибать упомянутый конус.

Ответ: бесконечно много.