Номер 15.7, страница 97 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.7. Как расположены относительно друг друга сфера и плоскость, если радиус сферы равен $7$ см, а плоскость удалена от ее центра на:
а) $6$ см;
б) $7$ см;
в) $8$ см?

Дано:

Радиус сферы $R = 7$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости $d$ в трех случаях:

а) $d_a = 6$ см

б) $d_b = 7$ см

в) $d_c = 8$ см

Перевод в систему СИ:

$R = 0,07$ м

$d_a = 0,06$ м

$d_b = 0,07$ м

$d_c = 0,08$ м

Найти:

Как расположены относительно друг друга сфера и плоскость в каждом из случаев.

Решение:

Взаимное расположение сферы и плоскости определяется сравнением радиуса сферы $R$ и расстояния $d$ от центра сферы до плоскости. Существует три возможных варианта:

1. Если $d < R$, плоскость пересекает сферу. Линией пересечения является окружность.

2. Если $d = R$, плоскость имеет со сферой одну общую точку, то есть касается сферы.

3. Если $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.

Применим эти правила для каждого из заданных случаев, используя $R = 7$ см.

а)

Расстояние от центра до плоскости $d = 6$ см. Сравниваем $d$ с радиусом $R = 7$ см.

Так как $6 \text{ см} < 7 \text{ см}$, то выполняется условие $d < R$.

Следовательно, плоскость пересекает сферу.

Ответ: Плоскость пересекает сферу по окружности.

б)

Расстояние от центра до плоскости $d = 7$ см. Сравниваем $d$ с радиусом $R = 7$ см.

Так как $7 \text{ см} = 7 \text{ см}$, то выполняется условие $d = R$.

Следовательно, плоскость касается сферы в одной точке.

Ответ: Плоскость касается сферы.

в)

Расстояние от центра до плоскости $d = 8$ см. Сравниваем $d$ с радиусом $R = 7$ см.

Так как $8 \text{ см} > 7 \text{ см}$, то выполняется условие $d > R$.

Следовательно, плоскость и сфера не имеют общих точек.

Ответ: Плоскость и сфера не имеют общих точек.