Номер 16.1, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.1. В цилиндр вписана сфера радиусом $R$. Найдите радиус основания и высоту цилиндра?

Дано:

В цилиндр вписана сфера.

Радиус сферы: $R_{сферы} = R$.

Найти:

Радиус основания цилиндра: $r_{цилиндра}$

Высота цилиндра: $h_{цилиндра}$

Решение:

Если сфера вписана в цилиндр, это означает, что она касается его верхнего и нижнего оснований, а также его боковой поверхности.

Для наглядности рассмотрим осевое сечение данной системы тел. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, а осевым сечением вписанной в него сферы — окружность, которая вписана в этот прямоугольник. Радиус этой окружности равен радиусу сферы $R$.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра.

Так как окружность (сечение сферы) вписана в прямоугольник (сечение цилиндра), она касается его боковых сторон. Ширина этого прямоугольника равна диаметру основания цилиндра ($d_{цилиндра}$). В то же время, ширина этого прямоугольника должна быть равна диаметру вписанной окружности ($D_{сферы} = 2R$).

Следовательно, диаметр основания цилиндра равен диаметру сферы:

$d_{цилиндра} = 2R$

Радиус основания цилиндра ($r_{цилиндра}$) равен половине его диаметра:

$r_{цилиндра} = \frac{d_{цилиндра}}{2} = \frac{2R}{2} = R$

2. Нахождение высоты цилиндра.

Поскольку сфера касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, высота цилиндра ($h_{цилиндра}$) должна быть равна расстоянию между этими основаниями. Это расстояние соответствует высоте прямоугольника в осевом сечении. Высота прямоугольника, в который вписана окружность, равна диаметру этой окружности.

Следовательно, высота цилиндра равна диаметру сферы:

$h_{цилиндра} = D_{сферы} = 2R$

Цилиндр, в который можно вписать сферу, называется равносторонним, так как его высота равна диаметру основания ($h = 2r$).

Ответ: радиус основания цилиндра равен $R$, высота цилиндра равна $2R$.