Страница 93 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.25. Вращением графика какой функции можно получить поверхность, изображенную на рисунке 14.16?

Рис. 14.16

Решение

Изображенная на рисунке поверхность является поверхностью вращения, так как она обладает осевой симметрией относительно оси $z$. Поверхности вращения образуются путем вращения плоской кривой (графика функции одной переменной) вокруг некоторой оси, в данном случае — оси $z$.

Чтобы найти эту функцию, рассмотрим сечение поверхности любой плоскостью, проходящей через ось вращения $z$. Например, рассмотрим сечение в плоскости $Oxz$, где $y=0$. Профиль поверхности в этой плоскости является графиком некоторой функции $z = f(x)$. Вращая этот график для $x \ge 0$ вокруг оси $z$, мы получим всю исходную поверхность.

Проанализируем вид этого графика-профиля $z=f(x)$ при $x \ge 0$:

1. В центре, при $x=0$, функция имеет локальный максимум.

2. При увеличении расстояния $x$ от центра, значение функции $z$ колеблется, проходя через ноль, достигая локального минимума и так далее. Это указывает на наличие тригонометрической составляющей (синус или косинус).

3. Амплитуда (размах) этих колебаний уменьшается по мере удаления от центра. Это явление называется затуханием и часто описывается экспоненциальной функцией.

Функция, которая объединяет эти свойства — колебания с затухающей амплитудой и максимумом в начальной точке — это функция затухающего косинуса. Ее общий вид:

$z(x) = A e^{-ax} \cos(bx)$

где $x$ — это расстояние от оси вращения $z$. Константы $A$, $a$ и $b$ определяют начальную амплитуду, скорость затухания и частоту колебаний соответственно. Судя по графику, все эти константы положительны. Для простоты можно положить $A=1$.

Таким образом, вращая график функции $z(x) = e^{-ax} \cos(bx)$ для $x \ge 0$ вокруг оси $z$, мы получаем изображенную поверхность. Уравнение самой поверхности в декартовых координатах будет $z = e^{-a\sqrt{x^2+y^2}} \cos(b\sqrt{x^2+y^2})$, так как расстояние от точки $(x, y)$ до оси $z$ равно $r = \sqrt{x^2+y^2}$.

Ответ:

Поверхность можно получить вращением вокруг оси $z$ графика функции затухающего косинуса, например, функции вида $z(x) = e^{-ax}\cos(bx)$, где $x \ge 0$ представляет собой расстояние от оси вращения, а $a > 0$ и $b > 0$ — некоторые постоянные.

14.26. Ведро имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого 30 см и 20 см, а образующая 30 см. Сколько краски нужно для покраски с обеих сторон такого ведра, если на $1 \text{ м}^2$ поверхности требуется 300 г краски?

Дано:

Форма ведра: усеченный конус.

Диаметр большего основания: $d_1 = 30$ см.

Диаметр меньшего основания: $d_2 = 20$ см.

Образующая: $l = 30$ см.

Расход краски: $q = 300$ г/м².

Переведем данные в систему СИ:

$d_1 = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$.

$d_2 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$.

$l = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$.

Найти:

Массу краски $m$ для покраски ведра с обеих сторон.

Решение:

1. Площадь поверхности, которую нужно покрасить, состоит из площади дна (меньшего основания) и площади боковой поверхности. Так как покраска производится с обеих сторон (снаружи и изнутри), итоговую площадь нужно удвоить.

2. Найдем радиусы оснований из заданных диаметров:

Радиус большего основания: $r_1 = d_1 / 2 = 0.3 \text{ м} / 2 = 0.15 \text{ м}$.

Радиус меньшего основания (дна): $r_2 = d_2 / 2 = 0.2 \text{ м} / 2 = 0.1 \text{ м}$.

3. Вычислим площадь поверхности ведра (с одной стороны). Она складывается из площади дна и площади боковой поверхности.

Площадь дна вычисляется по формуле площади круга:

$S_{дна} = \pi r_2^2 = \pi \cdot (0.1 \text{ м})^2 = 0.01\pi \text{ м}^2$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l = \pi (0.15 \text{ м} + 0.1 \text{ м}) \cdot 0.3 \text{ м} = \pi \cdot 0.25 \text{ м} \cdot 0.3 \text{ м} = 0.075\pi \text{ м}^2$.

4. Общая площадь поверхности одной стороны ведра:

$S_{1} = S_{дна} + S_{бок} = 0.01\pi \text{ м}^2 + 0.075\pi \text{ м}^2 = 0.085\pi \text{ м}^2$.

5. Общая площадь для покраски с обеих сторон:

$S_{общ} = 2 \cdot S_{1} = 2 \cdot 0.085\pi \text{ м}^2 = 0.17\pi \text{ м}^2$.

6. Рассчитаем необходимую массу краски, зная, что расход составляет 300 г на 1 м²:

$m = S_{общ} \cdot q = 0.17\pi \text{ м}^2 \cdot 300 \text{ г/м}^2 = 51\pi \text{ г}$.

7. Вычислим приближенное численное значение, приняв $\pi \approx 3.14159$:

$m \approx 51 \cdot 3.14159 \approx 160.22 \text{ г}$.

Ответ: для покраски ведра с обеих сторон потребуется примерно 160.2 г краски.

14.27. Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах), указанные на рисунке 14.17. Сколько квадратных дециметров жести затрачено на изготовление воронки (на швы уходит 10% площади поверхности воронки)?

$\emptyset 70$

$\emptyset 20$

$\emptyset 10$

50

90

Рис. 14.17

Дано:

Воронка состоит из двух усеченных конусов.

Верхняя часть:

Диаметр большего основания $D_1 = 70$ мм

Диаметр меньшего основания $D_2 = 20$ мм

Высота $h_1 = 50$ мм

Нижняя часть:

Диаметр большего основания $D_2 = 20$ мм

Диаметр меньшего основания $D_3 = 10$ мм

Общая высота воронки $H = 90$ мм

Расход жести на швы - $10\%$ от площади поверхности воронки.

Перевод в систему СИ (дециметры, так как ответ требуется в дм²):

1 дм = 100 мм

$R_1 = D_1 / 2 = 35 \text{ мм} = 0.35 \text{ дм}$

$R_2 = D_2 / 2 = 10 \text{ мм} = 0.1 \text{ дм}$

$R_3 = D_3 / 2 = 5 \text{ мм} = 0.05 \text{ дм}$

$h_1 = 50 \text{ мм} = 0.5 \text{ дм}$

$H = 90 \text{ мм} = 0.9 \text{ дм}$

Высота нижней части $h_2 = H - h_1 = 90 - 50 = 40 \text{ мм} = 0.4 \text{ дм}$

Найти:

Общую площадь жести $S_{общ}$, затраченной на изготовление воронки, в дм².

Решение:

Площадь поверхности воронки состоит из площадей боковых поверхностей двух усеченных конусов. Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей.

Образующая $l$ находится по теореме Пифагора: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$, где $h$ - высота усеченного конуса.

1. Расчет для верхней части воронки (первый усеченный конус).

Найдем длину образующей $l_1$:

$l_1 = \sqrt{h_1^2 + (R_1-R_2)^2} = \sqrt{0.5^2 + (0.35-0.1)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25^2} = \sqrt{0.25 + 0.0625} = \sqrt{0.3125} \approx 0.559 \text{ дм}$

Теперь найдем площадь боковой поверхности $S_1$:

$S_1 = \pi(R_1+R_2)l_1 = \pi(0.35+0.1) \cdot \sqrt{0.3125} = 0.45\pi\sqrt{0.3125} \approx 0.45 \cdot 3.1416 \cdot 0.559 \approx 0.790 \text{ дм}^2$

2. Расчет для нижней части воронки (второй усеченный конус).

Найдем длину образующей $l_2$:

$l_2 = \sqrt{h_2^2 + (R_2-R_3)^2} = \sqrt{0.4^2 + (0.1-0.05)^2} = \sqrt{0.16 + 0.05^2} = \sqrt{0.16 + 0.0025} = \sqrt{0.1625} \approx 0.403 \text{ дм}$

Теперь найдем площадь боковой поверхности $S_2$:

$S_2 = \pi(R_2+R_3)l_2 = \pi(0.1+0.05) \cdot \sqrt{0.1625} = 0.15\pi\sqrt{0.1625} \approx 0.15 \cdot 3.1416 \cdot 0.403 \approx 0.190 \text{ дм}^2$

3. Расчет общей площади.

Площадь поверхности самой воронки $S_{воронки}$ равна сумме площадей ее частей:

$S_{воронки} = S_1 + S_2 \approx 0.790 + 0.190 = 0.980 \text{ дм}^2$

На швы уходит $10\%$ от площади поверхности. Это значит, что общая площадь затраченной жести на $10\%$ больше площади самой воронки. Таким образом, общая площадь составляет $100\% + 10\% = 110\%$ от $S_{воронки}$.

$S_{общ} = S_{воронки} \cdot 1.1 = 0.980 \cdot 1.1 = 1.078 \text{ дм}^2$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $1.08 \text{ дм}^2$

14.28. Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра, если диаметры его оснований 28 см и 20 см, а высота 24 см? Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расхода на швы)?

Дано:

Ведро в форме усеченного конуса

Диаметр большего основания: $d_1 = 28$ см

Диаметр меньшего основания: $d_2 = 20$ см

Высота: $h = 24$ см

В системе СИ:

$d_1 = 0.28$ м

$d_2 = 0.20$ м

$h = 0.24$ м

Найти:

1. Размеры развертки боковой поверхности ведра.

2. Общую площадь материала $S_{полн}$ в дм², необходимого для изготовления ведра.

Решение:

Размеры развертки боковой поверхности ведра

Ведро имеет форму усеченного конуса. Развертка его боковой поверхности представляет собой сектор кольца. Для определения ее размеров необходимо найти радиусы дуг и их длины.

Сначала найдем радиусы оснований ведра:

Радиус большего основания: $R = d_1 / 2 = 28 / 2 = 14$ см.

Радиус меньшего основания: $r = d_2 / 2 = 20 / 2 = 10$ см.

Далее найдем образующую $l$ усеченного конуса (боковую сторону ведра). Рассмотрим осевое сечение ведра, которое является равнобокой трапецией. Образующая $l$ будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами, равными высоте ведра $h$ и разности радиусов $R-r$.

По теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} = \sqrt{24^2 + (14 - 10)^2} = \sqrt{576 + 4^2} = \sqrt{576 + 16} = \sqrt{592}$ см.

Упростим корень: $592 = 16 \cdot 37$, следовательно, $l = \sqrt{16 \cdot 37} = 4\sqrt{37}$ см. Эта величина является шириной сектора кольца развертки.

Радиусами дуг развертки являются образующие полного конуса ($l_1$) и малого конуса ($l_2$), который отсекается от полного. Из подобия треугольников в осевом сечении полного конуса получаем соотношение:

$\frac{l_1}{R} = \frac{l_2}{r} = \frac{l_1 - l_2}{R - r} = \frac{l}{R - r}$

Подставим известные значения:

$\frac{l_1}{14} = \frac{l}{R - r} = \frac{4\sqrt{37}}{14 - 10} = \frac{4\sqrt{37}}{4} = \sqrt{37}$

Отсюда находим радиус внешней дуги развертки: $l_1 = 14\sqrt{37}$ см.

Аналогично для радиуса внутренней дуги:

$\frac{l_2}{10} = \sqrt{37} \implies l_2 = 10\sqrt{37}$ см.

Длины дуг развертки равны длинам окружностей оснований ведра:

Длина внешней дуги: $C_1 = 2\pi R = 2\pi \cdot 14 = 28\pi$ см.

Длина внутренней дуги: $C_2 = 2\pi r = 2\pi \cdot 10 = 20\pi$ см.

Ответ: Развертка боковой поверхности ведра представляет собой сектор кольца, у которого радиус внешней дуги равен $14\sqrt{37}$ см, радиус внутренней дуги равен $10\sqrt{37}$ см, длина внешней дуги — $28\pi$ см, а длина внутренней дуги — $20\pi$ см.

Количество материала на изготовление ведра

Общая площадь материала $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площади дна $S_{дна}$ (меньшего основания).

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi (R + r) l = \pi (14 + 10) \cdot 4\sqrt{37} = 96\pi\sqrt{37}$ см².

Площадь дна ведра (круга с радиусом $r$):

$S_{дна} = \pi r^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$ см².

Суммарная площадь материала:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{дна} = 96\pi\sqrt{37} + 100\pi = \pi (96\sqrt{37} + 100)$ см².

Для получения численного ответа подставим приближенные значения $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{37} \approx 6.08276$:

$S_{полн} \approx 3.14159 \cdot (96 \cdot 6.08276 + 100) = 3.14159 \cdot (583.945 + 100) = 3.14159 \cdot 683.945 \approx 2148.68$ см².

Вопрос требует дать ответ в квадратных дециметрах. Учитывая, что 1 дм² = 100 см², переведем полученную площадь:

$S_{полн} = \frac{2148.68}{100} = 21.4868$ дм².

Округлим результат до сотых:

$S_{полн} \approx 21.49$ дм².

Ответ: На изготовление ведра нужно затратить примерно 21.49 дм² материала.

14.29. Повторите определения окружности, круга и их элементов, определение касательной прямой к окружности и случаи взаимного расположения окружности и прямой.

Определения окружности, круга и их элементов

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки. Эта точка называется центром окружности.

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг включает в себя как саму окружность, так и все точки, находящиеся внутри нее.

Основными элементами окружности и круга являются:

Центр — точка, равноудаленная от всех точек окружности.

Радиус ($r$) — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Также радиусом называют длину этого отрезка.

Хорда — отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.

Диаметр ($d$) — это хорда, проходящая через центр окружности. Длина диаметра равна двум радиусам: $d = 2r$. Диаметр является самой длинной хордой окружности.

Дуга — любая из двух частей, на которые окружность делится двумя ее точками.

Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Ответ: Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от центра. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Ключевые элементы: центр, радиус ($r$), хорда, диаметр ($d = 2r$), дуга, сектор и сегмент.

Определение касательной прямой к окружности

Касательная к окружности — это прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку. Эта единственная общая точка называется точкой касания.

Важнейшее свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: Касательная к окружности — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку (точку касания). Касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Случаи взаимного расположения окружности и прямой

Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости определяется соотношением между радиусом окружности ($r$) и расстоянием от центра окружности до прямой ($d$). Существует три возможных случая:

1. Прямая пересекает окружность. Это происходит, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса окружности ($d < r$). В этом случае прямая и окружность имеют две общие точки. Такая прямая называется секущей.

2. Прямая касается окружности. Это происходит, если расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности ($d = r$). В этом случае прямая и окружность имеют ровно одну общую точку. Такая прямая называется касательной.

3. Прямая и окружность не имеют общих точек. Это происходит, если расстояние от центра до прямой больше радиуса окружности ($d > r$).

Ответ: Существует три случая взаимного расположения прямой и окружности, которые зависят от расстояния $d$ от центра до прямой и радиуса $r$:
1. Прямая пересекает окружность в двух точках (секущая), если $d < r$.
2. Прямая касается окружности в одной точке (касательная), если $d = r$.
3. Прямая не имеет общих точек с окружностью, если $d > r$.