Страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.19. Какая фигура получится при вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 13.12)?

Рис. 13.12

Решение

Фигура, которая получится при вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, является конусом. Рассмотрим процесс формирования этой фигуры по частям.

1. Ось вращения. По условию, это прямая, содержащая высоту пирамиды. В правильной пирамиде высота проходит через вершину пирамиды (на рисунке точка $S$) и центр основания (точка $O$ — центр квадрата $ABCD$).

2. Вращение вершины. Вершина пирамиды $S$ лежит на оси вращения. Любая точка, лежащая на оси вращения, при вращении вокруг этой оси остается неподвижной. Следовательно, вершина $S$ останется на месте и станет вершиной итоговой фигуры вращения.

3. Вращение основания. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат $ABCD$. При вращении квадрата вокруг его центра $O$ (который лежит на оси вращения) все его точки описывают окружности. Самые удаленные от центра точки — это вершины $A, B, C, D$. Они описывают наибольшую окружность — это окружность, описанная около квадрата. Вся площадь квадрата при вращении заполнит собой круг. Этот круг и будет основанием фигуры вращения. Его радиус равен половине диагонали квадрата.

4. Вращение боковой поверхности. Боковая поверхность пирамиды образована боковыми ребрами ($SA, SB, SC, SD$) и гранями. Рассмотрим любое боковое ребро, например, $SA$. Один его конец, точка $S$, неподвижен. Другой конец, точка $A$, движется по окружности в плоскости основания. Отрезок, вращающийся вокруг оси, проходящей через один из его концов, описывает коническую поверхность. Поскольку все боковые ребра правильной пирамиды равны, они все вместе образуют единую коническую поверхность.

Соединив результаты, мы видим, что фигура вращения имеет вершину $S$, круглое основание (образованное вращением квадрата $ABCD$) и коническую боковую поверхность (образованную вращением боковых ребер). Такая фигура является конусом.

Ответ: При вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, получится конус. Вершина этого конуса совпадает с вершиной пирамиды, его высота равна высоте пирамиды, а радиус его основания равен радиусу окружности, описанной около квадрата, который является основанием пирамиды. Образующая конуса будет равна боковому ребру пирамиды.

13.20. Найдите площадь поверхности конуса, получающегося вращением правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 13.12).

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Длина ребра $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Площадь полной поверхности конуса $S_{кон}$, полученного вращением пирамиды вокруг ее высоты.

Решение:

При вращении правильной четырехугольной пирамиды вокруг своей высоты образуется конус. Параметры этого конуса определяются параметрами пирамиды.

1. Образующая конуса $l$ равна боковому ребру пирамиды. По условию, все ребра пирамиды равны 1 см, следовательно, боковое ребро также равно 1 см.

$l = 1$ см.

2. Основанием конуса является окружность, описанная вокруг основания пирамиды. Радиус этой окружности $r$ равен расстоянию от центра основания пирамиды (квадрата) до его вершины. Это расстояние составляет половину диагонали квадрата.

Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 1$ см. Найдем его диагональ $d$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставляя $a = 1$ см, получаем:

$d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен половине диагонали:

$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Площадь полной поверхности конуса $S_{кон}$ состоит из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{кон} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания конуса (круга) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

$S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см$^2$.

4. Найдем полную площадь поверхности конуса:

$S_{кон} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{\pi(1 + \sqrt{2})}{2}$ см$^2$.

13.21. Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 13.13)?

Рис. 13.13

Решение

Рассмотрим процесс вращения правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $ABCDEF$ — ее основание, которое является правильным шестиугольником. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. Тогда высота пирамиды — это отрезок $SO$, а прямая, содержащая высоту, является осью вращения.

Тело вращения — это геометрическое тело, которое образуется при вращении какой-либо фигуры вокруг оси. Чтобы определить, какая фигура получится, проанализируем, во что превратятся ключевые элементы пирамиды при вращении.

1. Вершина пирамиды. Вершина $S$ лежит на оси вращения $SO$, поэтому при вращении она остается неподвижной. Эта точка станет вершиной итоговой фигуры.

2. Основание пирамиды. Основание пирамиды — это правильный шестиугольник $ABCDEF$. При вращении вокруг своего центра $O$, каждая точка на периметре и внутри шестиугольника описывает окружность или остается на месте (точка $O$). Все вершины основания ($A, B, C, D, E, F$) равноудалены от центра $O$, так как шестиугольник правильный. Это значит, что все они лежат на одной окружности, которая является описанной около шестиугольника. При вращении эта окружность формирует границу, а весь шестиугольник заметает сплошной круг. Этот круг и будет основанием фигуры вращения.

3. Боковая поверхность. Боковая поверхность пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим любое боковое ребро, например, $SA$. Это отрезок, соединяющий вершину $S$ с одной из вершин основания $A$. При вращении вокруг оси $SO$, точка $S$ остается на месте, а точка $A$ описывает окружность в плоскости основания. Таким образом, отрезок $SA$ (называемый образующей) описывает коническую поверхность. Поскольку в правильной пирамиде все боковые ребра равны ($SA = SB = SC = \dots$), все они при вращении опишут одну и ту же коническую поверхность. Эта поверхность и будет боковой поверхностью итоговой фигуры.

Соединив эти части, мы получаем фигуру, у которой основанием является круг, а боковая поверхность — коническая. Такая фигура по определению является конусом.

Параметры полученного конуса напрямую связаны с параметрами исходной пирамиды:

• Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.
• Высота конуса равна высоте пирамиды.
• Основание конуса — это круг, описанный вокруг основания пирамиды.
• Радиус основания конуса равен расстоянию от центра основания пирамиды до любой его вершины (то есть радиусу описанной окружности).
• Образующая конуса равна длине бокового ребра пирамиды.

Ответ: Конус.

13.22. Найдите площадь поверхности конуса, получающегося вращением правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 13.13).

Рис. 13.13

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида.
Сторона основания, $a = 1$ см.
Боковое ребро, $s = 2$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$s = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности конуса, $S_{конуса}$.

Решение:

При вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту, образуется конус.

1. Радиус основания конуса ($r$) равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды. Основанием пирамиды является правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Следовательно, радиус основания конуса равен стороне основания пирамиды: $r = a = 1$ см.

2. Образующая конуса ($l$) равна боковому ребру пирамиды, так как вершины основания пирамиды при вращении описывают окружность основания конуса, а вершина пирамиды является вершиной конуса. Следовательно, образующая конуса равна: $l = s = 2$ см.

3. Площадь полной поверхности конуса вычисляется как сумма площади основания и площади боковой поверхности: $S_{конуса} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания конуса (круга) находится по формуле: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле: $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 2\pi \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности конуса: $S_{конуса} = \pi \text{ см}^2 + 2\pi \text{ см}^2 = 3\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $3\pi \text{ см}^2$.

13.23. Какая фигура получается вращением тупоугольного треугольника $ABC$ (рис. 13.14) вокруг прямой, содержащей высоту $AH$? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

$a$, $A$, $H$, $C$, $B$, $1$, $1$, $3$, Рис. 13.14

Какая фигура получается вращением тупоугольного треугольника ABC (рис. 13.14) вокруг прямой, содержащей высоту AH?
При вращении тупоугольного треугольника $ABC$ вокруг прямой, содержащей его внешнюю высоту $AH$, образуется тело вращения. Так как высота $AH$ лежит вне треугольника, фигуру вращения можно представить как разность двух тел.
Вращение прямоугольного треугольника $AHB$ вокруг катета $AH$ образует большой конус с вершиной $A$, высотой $AH$ и радиусом основания $HB$.
Вращение прямоугольного треугольника $AHC$ вокруг катета $AH$ образует меньший конус с той же вершиной $A$, высотой $AH$ и радиусом основания $HC$.
Поскольку площадь треугольника $ABC$ равна разности площадей треугольников $AHB$ и $AHC$, то тело вращения, полученное вращением треугольника $ABC$, представляет собой тело, полученное вычитанием из большого конуса малого конуса. Оба конуса имеют общую вершину и их оси совпадают.
Поверхность получившейся фигуры состоит из трех частей: боковой поверхности большого конуса, боковой поверхности малого конуса и основания, которое представляет собой кольцо (разность площадей кругов-оснований двух конусов).
Ответ: Фигура, полученная вращением, представляет собой большой конус, из которого удален меньший конус с общей вершиной и соосной высотой.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.
Дано:
Треугольник $ABC$ — тупоугольный.
$AH$ — высота, ось вращения.
$AC = 3$
$HC = 1$
$CB = 1$
Найти:
$S_{пов}$ — площадь поверхности фигуры вращения.
Решение:
Площадь поверхности тела вращения $S_{пов}$ складывается из площади боковой поверхности большего конуса ($S_{бок1}$), площади боковой поверхности меньшего конуса ($S_{бок2}$) и площади основания, которое является кольцом ($S_{осн}$).
$S_{пов} = S_{бок1} + S_{бок2} + S_{осн}$
1. Найдем радиусы оснований конусов. Ось вращения — $AH$.
Радиус основания большего конуса: $R_1 = HB = HC + CB = 1 + 1 = 2$.
Радиус основания меньшего конуса: $R_2 = HC = 1$.
2. Найдем высоту конусов $h = AH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. По теореме Пифагора:
$AH^2 + HC^2 = AC^2$
$h^2 + 1^2 = 3^2$
$h^2 = 9 - 1 = 8$
$h = AH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
3. Найдем образующие конусов.
Образующая меньшего конуса дана: $L_2 = AC = 3$.
Образующую большего конуса $L_1 = AB$ найдем из прямоугольного треугольника $AHB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AH^2 + HB^2$
$L_1^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 8 + 4 = 12$
$L_1 = AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
4. Вычислим площади поверхностей.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$.
$S_{бок1} = \pi R_1 L_1 = \pi \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\pi\sqrt{3}$.
$S_{бок2} = \pi R_2 L_2 = \pi \cdot 1 \cdot 3 = 3\pi$.
Площадь основания (кольца) равна разности площадей оснований конусов:
$S_{осн} = \pi R_1^2 - \pi R_2^2 = \pi (2^2 - 1^2) = \pi (4 - 1) = 3\pi$.
5. Найдем полную площадь поверхности фигуры вращения:
$S_{пов} = S_{бок1} + S_{бок2} + S_{осн} = 4\pi\sqrt{3} + 3\pi + 3\pi = 6\pi + 4\pi\sqrt{3}$.
Можно вынести общий множитель: $S_{пов} = 2\pi(3 + 2\sqrt{3})$.
Ответ: $6\pi + 4\pi\sqrt{3}$.

13.24. Какая фигура получится при вращении октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противолежащие вершины (рис. 13.15). Найдите площадь ее поверхности, считая ребро октаэдра равным $1 \text{ см}$.

Рис. 13.15

Дано:

Правильный октаэдр

Ребро октаэдра, $a = 1$ см

В системе СИ:

$a = 0.01$ м

Найти:

1. Фигуру, полученную при вращении.

2. Площадь поверхности $S$ полученной фигуры.

Решение:

Правильный октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Ось вращения, проходящая через две противоположные вершины, является общей высотой этих пирамид. Основанием этих пирамид является квадрат, вершины которого — это остальные четыре вершины октаэдра.

При вращении октаэдра вокруг этой оси каждое боковое ребро (которое не лежит на оси) описывает боковую поверхность конуса. Образующая этого конуса равна ребру октаэдра, а основание конуса — это окружность, по которой движутся остальные четыре вершины октаэдра.

Следовательно, фигура, полученная при вращении октаэдра вокруг прямой, соединяющей его противолежащие вершины, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных основаниями.

Площадь поверхности $S$ этой фигуры равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов:

$S = 2 \cdot S_{бок}$

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $l$ — длина образующей, а $r$ — радиус основания.

В данном случае образующая $l$ равна ребру октаэдра: $l = a = 1$ см.

Радиус основания $r$ — это радиус окружности, описанной вокруг квадрата, который является общим основанием двух пирамид. Сторона этого квадрата равна ребру октаэдра $a$. Диагональ квадрата $d$ по теореме Пифагора равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Радиус $r$ равен половине диагонали:

$r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности одного конуса:

$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см$^2$.

Площадь поверхности всей фигуры вращения:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: При вращении октаэдра получится фигура, состоящая из двух одинаковых конусов, соединенных основаниями. Площадь ее поверхности равна $\pi\sqrt{2}$ см$^2$.