Страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Как Вы думаете, можно ли получить конус вращением не прямоугольного и не равнобедренного треугольника?

Нет, получить конус (в строгом геометрическом смысле) вращением треугольника, который не является ни прямоугольным, ни равнобедренным, невозможно. Далее следует подробное объяснение этого утверждения.

Определение конуса как тела вращения

Тело вращения образуется при вращении плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Конус (точнее, прямой круговой конус) является телом вращения, которое традиционно получают двумя способами:

1. Вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. В этом случае второй катет образует основание конуса, а гипотенуза — его боковую поверхность (образующую).

2. Вращением равнобедренного треугольника вокруг его оси симметрии (высоты, проведенной к основанию). В этом случае половина основания треугольника становится радиусом основания конуса, а боковая сторона — образующей.

В обоих этих случаях, которые исключены условием задачи, получается тело с одной вершиной, одним плоским круглым основанием и одной конической боковой поверхностью, что и является определением конуса.

Анализ вращения разностороннего непрямоугольного треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, который не является ни прямоугольным, ни равнобедренным. Чтобы в результате вращения получить конус, итоговое тело должно соответствовать его геометрическому определению.

Проанализируем основной случай — вращение треугольника вокруг одной из его сторон.

Пусть осью вращения является прямая, содержащая сторону $AC$. Вершина $B$ при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси $AC$. Радиус этой окружности равен длине высоты $BH$, проведенной из вершины $B$ к прямой $AC$.

• Если треугольник $ABC$ — остроугольный. В этом случае основание высоты $H$ лежит на отрезке $AC$. Тело вращения будет состоять из двух разных конусов (поскольку треугольник разносторонний, то $AH \neq CH$), соединенных общим основанием (окружностью, которую описала точка $B$). Вершинами этих конусов будут точки $A$ и $C$. Полученное тело не является одним конусом.

• Если треугольник $ABC$ — тупоугольный (например, с тупым углом при вершине $A$). В этом случае основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $AC$ за точку $A$. Тело вращения получается путем вычитания из объема конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника $BHC$, другого конуса, образованного вращением треугольника $BHA$. У этих конусов общая ось и плоскость основания, но разные вершины ($C$ и $A$). Результирующее тело не является конусом, так как его граница состоит из боковой поверхности большего конуса и боковой поверхности меньшего конуса (которая образует внутри тела "воронку"). Эта форма не соответствует определению простого конуса.

Единственный случай, когда при вращении вокруг стороны $AC$ получается один конус, — это когда один из прилежащих углов ($A$ или $C$) является прямым. Например, если $\angle C = 90^\circ$, то "второй" конус с вершиной $C$ вырождается в плоский круг, и мы получаем единый конус. Но это означает, что треугольник — прямоугольный, что противоречит условию задачи.

Рассмотрение других осей вращения (например, проходящих через вершину, но не через сторону) также приводит к более сложным телам или требует, чтобы треугольник был равнобедренным для формирования конуса, что также исключено условием.

Ответ: Нет, невозможно получить конус вращением треугольника, который не является ни прямоугольным, ни равнобедренным.

Вопросы

1. Какая фигура называется конусом?

2. Что называется осью конуса?

3. Что называется основанием конуса?

4. Какая фигура называется боковой поверхностью конуса?

5. Какие отрезки называются образующими конуса?

6. Что называется осевым сечением конуса?

7. Что называется вершиной конуса?

8. Что называется высотой конуса?

9. Какая фигура называется разверткой конуса?

10. Что называется площадью поверхности конуса?

11. Что называется площадью боковой поверхности конуса?

12. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса.

13. Выведите формулу площади полной поверхности конуса.

1. Какая фигура называется конусом? Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, называется конусом (или, более точно, прямым круговым конусом). Также конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и кругом (основанием). Коническая поверхность образуется множеством отрезков (образующих), соединяющих одну общую точку (вершину) со всеми точками окружности основания.
Ответ: Конус — это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

2. Что называется осью конуса? Осью прямого кругового конуса является прямая, проходящая через его вершину и центр основания. Для конуса, полученного как тело вращения, осью является тот катет прямоугольного треугольника, вокруг которого осуществлялось вращение.
Ответ: Прямая, которая проходит через вершину и центр основания конуса.

3. Что называется основанием конуса? Основанием конуса называется круг, который ограничивает коническую поверхность. Этот круг лежит в плоскости, перпендикулярной оси прямого конуса.
Ответ: Круг, лежащий в основании конической поверхности.

4. Какая фигура называется боковой поверхностью конуса? Боковой поверхностью конуса называется поверхность, состоящая из всех его образующих. Это криволинейная поверхность, которая соединяет окружность основания с вершиной конуса.
Ответ: Поверхность, образованная всеми образующими конуса.

5. Какие отрезки называются образующими конуса? Образующими конуса называются все отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками на окружности его основания. В прямом круговом конусе длины всех образующих равны.
Ответ: Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности его основания.

6. Что называется осевым сечением конуса? Осевым сечением конуса называется фигура, получающаяся при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. Для прямого кругового конуса осевое сечение является равнобедренным треугольником, у которого основание — это диаметр основания конуса, а боковые стороны — две образующие конуса.
Ответ: Сечение конуса плоскостью, которая проходит через его ось.

7. Что называется вершиной конуса? Вершиной конуса называется точка, из которой выходят все образующие конуса и которая не лежит в плоскости его основания.
Ответ: Общая точка всех образующих конуса.

8. Что называется высотой конуса? Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Длиной высоты является расстояние от вершины до основания. В прямом конусе высота совпадает с отрезком оси, заключенным между вершиной и центром основания.
Ответ: Перпендикуляр, который проведен из вершины конуса к плоскости его основания.

9. Какая фигура называется разверткой конуса? Разверткой конуса на плоскости называется фигура, которая состоит из круга (основание конуса) и кругового сектора (развертка боковой поверхности). Радиус этого сектора равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Ответ: Фигура, состоящая из круга и кругового сектора.

10. Что называется площадью поверхности конуса? Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади его основания и площади его боковой поверхности.
Ответ: Сумма площадей боковой поверхности и основания конуса.

11. Что называется площадью боковой поверхности конуса? Площадью боковой поверхности конуса называется площадь её развертки, которая представляет собой круговой сектор.
Ответ: Площадь развертки боковой поверхности конуса.

12. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса. Боковая поверхность конуса разворачивается в круговой сектор. Пусть радиус основания конуса равен $R$, а длина образующей равна $l$. Тогда радиус этого кругового сектора будет равен $l$, а длина его дуги будет равна длине окружности основания конуса, то есть $C = 2\pi R$. Площадь кругового сектора находится по формуле $S_{сект} = \frac{1}{2} \cdot (\text{радиус сектора}) \cdot (\text{длина дуги})$. Подставив наши значения, получим формулу для площади боковой поверхности конуса $S_{бок}$:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot (2\pi R) = \pi R l$.
Ответ: Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

13. Выведите формулу площади полной поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.
Площадь основания (круга с радиусом $R$) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$.
Площадь боковой поверхности, как мы выяснили ранее, равна: $S_{бок} = \pi R l$.
Сложив эти две площади, мы получим формулу для площади полной поверхности конуса:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l$.
Вынося общий множитель $\pi R$ за скобки, формулу можно представить в виде: $S_{полн} = \pi R (R + l)$.
Ответ: Формула площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi R (R + l)$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

13.1. На листе бумаги в клетку изобразите конус, аналогичный дан-ному на рисунке 13.4. Изобразите его осевое сечение.

Рис. 13.4

Решение

Чтобы выполнить задание, необходимо сначала проанализировать параметры конуса, изображенного на рисунке, а затем описать процесс построения аналогичного конуса и его осевого сечения на клетчатой бумаге.

1. Анализ исходного конуса и построение аналогичного.
Примем сторону одной клетки за единицу длины.
- Основание конуса — это круг, который в проекции изображен как эллипс. Его горизонтальный диаметр равен 6 клеткам. Следовательно, радиус основания конуса $r = 3$ единицы.
- Высота конуса $h$, то есть перпендикуляр от вершины к центру основания, равна 4 клеткам.
Для построения конуса на листе в клетку нужно:
а) Отметить точку — центр основания. Отложить от нее по 3 клетки влево и вправо.
б) Нарисовать эллипс, проходящий через эти точки, изображая основание. Видимую (ближнюю) часть эллипса нарисовать сплошной линией, а невидимую (дальнюю) — пунктирной.
в) Из центра основания подняться на 4 клетки вверх и отметить вершину конуса.
г) Соединить вершину с крайними точками диаметра основания. Эти отрезки называются образующими конуса.

2. Изображение осевого сечения.
Осевое сечение конуса — это фигура, получающаяся при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. Для прямого кругового конуса осевое сечение является равнобедренным треугольником.
- Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса: $d = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ единиц.
- Высота треугольника равна высоте конуса: $h = 4$ единицы.
- Боковые стороны треугольника — это образующие конуса. Длину образующей $l$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом $r$ и образующей $l$:
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ единиц.
На рисунке осевое сечение — это треугольник с вершинами в вершине конуса и на концах горизонтального диаметра основания. Его можно выделить цветом или штриховкой.

На рисунке ниже показан результат построения: конус с выделенным осевым сечением (закрашенный зеленым треугольник).

Ответ: Осевое сечение данного конуса — это равнобедренный треугольник с основанием 6 единиц, высотой 4 единицы и боковыми сторонами, равными 5 единицам. Построенный конус с выделенным сечением представлен на рисунке выше.