Вопросы, страница 83 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая фигура называется конусом?

2. Что называется осью конуса?

3. Что называется основанием конуса?

4. Какая фигура называется боковой поверхностью конуса?

5. Какие отрезки называются образующими конуса?

6. Что называется осевым сечением конуса?

7. Что называется вершиной конуса?

8. Что называется высотой конуса?

9. Какая фигура называется разверткой конуса?

10. Что называется площадью поверхности конуса?

11. Что называется площадью боковой поверхности конуса?

12. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса.

13. Выведите формулу площади полной поверхности конуса.

1. Какая фигура называется конусом? Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, называется конусом (или, более точно, прямым круговым конусом). Также конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и кругом (основанием). Коническая поверхность образуется множеством отрезков (образующих), соединяющих одну общую точку (вершину) со всеми точками окружности основания.
Ответ: Конус — это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

2. Что называется осью конуса? Осью прямого кругового конуса является прямая, проходящая через его вершину и центр основания. Для конуса, полученного как тело вращения, осью является тот катет прямоугольного треугольника, вокруг которого осуществлялось вращение.
Ответ: Прямая, которая проходит через вершину и центр основания конуса.

3. Что называется основанием конуса? Основанием конуса называется круг, который ограничивает коническую поверхность. Этот круг лежит в плоскости, перпендикулярной оси прямого конуса.
Ответ: Круг, лежащий в основании конической поверхности.

4. Какая фигура называется боковой поверхностью конуса? Боковой поверхностью конуса называется поверхность, состоящая из всех его образующих. Это криволинейная поверхность, которая соединяет окружность основания с вершиной конуса.
Ответ: Поверхность, образованная всеми образующими конуса.

5. Какие отрезки называются образующими конуса? Образующими конуса называются все отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками на окружности его основания. В прямом круговом конусе длины всех образующих равны.
Ответ: Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности его основания.

6. Что называется осевым сечением конуса? Осевым сечением конуса называется фигура, получающаяся при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. Для прямого кругового конуса осевое сечение является равнобедренным треугольником, у которого основание — это диаметр основания конуса, а боковые стороны — две образующие конуса.
Ответ: Сечение конуса плоскостью, которая проходит через его ось.

7. Что называется вершиной конуса? Вершиной конуса называется точка, из которой выходят все образующие конуса и которая не лежит в плоскости его основания.
Ответ: Общая точка всех образующих конуса.

8. Что называется высотой конуса? Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Длиной высоты является расстояние от вершины до основания. В прямом конусе высота совпадает с отрезком оси, заключенным между вершиной и центром основания.
Ответ: Перпендикуляр, который проведен из вершины конуса к плоскости его основания.

9. Какая фигура называется разверткой конуса? Разверткой конуса на плоскости называется фигура, которая состоит из круга (основание конуса) и кругового сектора (развертка боковой поверхности). Радиус этого сектора равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Ответ: Фигура, состоящая из круга и кругового сектора.

10. Что называется площадью поверхности конуса? Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади его основания и площади его боковой поверхности.
Ответ: Сумма площадей боковой поверхности и основания конуса.

11. Что называется площадью боковой поверхности конуса? Площадью боковой поверхности конуса называется площадь её развертки, которая представляет собой круговой сектор.
Ответ: Площадь развертки боковой поверхности конуса.

12. Выведите формулу площади боковой поверхности конуса. Боковая поверхность конуса разворачивается в круговой сектор. Пусть радиус основания конуса равен $R$, а длина образующей равна $l$. Тогда радиус этого кругового сектора будет равен $l$, а длина его дуги будет равна длине окружности основания конуса, то есть $C = 2\pi R$. Площадь кругового сектора находится по формуле $S_{сект} = \frac{1}{2} \cdot (\text{радиус сектора}) \cdot (\text{длина дуги})$. Подставив наши значения, получим формулу для площади боковой поверхности конуса $S_{бок}$:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot (2\pi R) = \pi R l$.
Ответ: Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R l$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.

13. Выведите формулу площади полной поверхности конуса. Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.
Площадь основания (круга с радиусом $R$) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi R^2$.
Площадь боковой поверхности, как мы выяснили ранее, равна: $S_{бок} = \pi R l$.
Сложив эти две площади, мы получим формулу для площади полной поверхности конуса:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l$.
Вынося общий множитель $\pi R$ за скобки, формулу можно представить в виде: $S_{полн} = \pi R (R + l)$.
Ответ: Формула площади полной поверхности конуса: $S_{полн} = \pi R (R + l)$, где $R$ — радиус основания, а $l$ — длина образующей.