Номер 13.3, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.3. Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, параллель-ной основанию?

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, является фигурой, подобной основанию. Так как основание конуса — это круг, то и сечение будет кругом.

Чтобы доказать это, рассмотрим прямой круговой конус с вершиной $S$, центром основания $O$ и радиусом основания $R$. Высота конуса равна $H = SO$. Секущая плоскость $\beta$ параллельна плоскости основания $\alpha$ и пересекает высоту конуса в точке $O_1$ на расстоянии $h=SO_1$ от вершины.

Возьмем произвольную точку $M$ на окружности основания. Образующая конуса, проходящая через эту точку, — это отрезок $SM$. Секущая плоскость $\beta$ пересечет эту образующую в некоторой точке $M_1$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точки $S, O, M$. В этом сечении мы получим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOM$ и $\triangle SO_1M_1$. Эти треугольники подобны по двум углам (угол при вершине $S$ у них общий, а углы $\angle SO_1M_1$ и $\angle SOM$ равны как соответственные при параллельных прямых $O_1M_1$ и $OM$ и секущей $SO$).

Из подобия треугольников следует отношение:

$\frac{O_1M_1}{OM} = \frac{SO_1}{SO}$

Пусть радиус сечения $r = O_1M_1$. Тогда:

$\frac{r}{R} = \frac{h}{H}$

Отсюда радиус сечения $r = R \cdot \frac{h}{H}$.

Поскольку для данной секущей плоскости величины $R$, $H$ и $h$ постоянны, то и радиус $r$ является постоянной величиной для любой точки $M_1$ в сечении. Это означает, что все точки линии пересечения конуса и плоскости $\beta$ равноудалены от точки $O_1$. По определению, геометрическое место таких точек на плоскости — это окружность. Фигура, ограниченная этой окружностью, называется кругом.

Ответ: Круг.