Страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.2. Сколько образующих имеет конус?

Конус представляет собой геометрическое тело, образованное множеством отрезков, называемых образующими. Каждая образующая соединяет одну общую точку, называемую вершиной конуса, с точкой на границе его основания.
Основанием конуса является круг, а его границей — окружность. Окружность, по определению, состоит из бесконечного множества точек. Поскольку каждую из этих бесконечно многих точек на окружности основания можно соединить с вершиной конуса, то и число таких отрезков (образующих) также бесконечно.
Таким образом, у конуса существует бесконечное множество образующих.
Ответ: Конус имеет бесконечное множество образующих.

13.3. Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, параллель-ной основанию?

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, является фигурой, подобной основанию. Так как основание конуса — это круг, то и сечение будет кругом.

Чтобы доказать это, рассмотрим прямой круговой конус с вершиной $S$, центром основания $O$ и радиусом основания $R$. Высота конуса равна $H = SO$. Секущая плоскость $\beta$ параллельна плоскости основания $\alpha$ и пересекает высоту конуса в точке $O_1$ на расстоянии $h=SO_1$ от вершины.

Возьмем произвольную точку $M$ на окружности основания. Образующая конуса, проходящая через эту точку, — это отрезок $SM$. Секущая плоскость $\beta$ пересечет эту образующую в некоторой точке $M_1$.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через точки $S, O, M$. В этом сечении мы получим два прямоугольных треугольника: $\triangle SOM$ и $\triangle SO_1M_1$. Эти треугольники подобны по двум углам (угол при вершине $S$ у них общий, а углы $\angle SO_1M_1$ и $\angle SOM$ равны как соответственные при параллельных прямых $O_1M_1$ и $OM$ и секущей $SO$).

Из подобия треугольников следует отношение:

$\frac{O_1M_1}{OM} = \frac{SO_1}{SO}$

Пусть радиус сечения $r = O_1M_1$. Тогда:

$\frac{r}{R} = \frac{h}{H}$

Отсюда радиус сечения $r = R \cdot \frac{h}{H}$.

Поскольку для данной секущей плоскости величины $R$, $H$ и $h$ постоянны, то и радиус $r$ является постоянной величиной для любой точки $M_1$ в сечении. Это означает, что все точки линии пересечения конуса и плоскости $\beta$ равноудалены от точки $O_1$. По определению, геометрическое место таких точек на плоскости — это окружность. Фигура, ограниченная этой окружностью, называется кругом.

Ответ: Круг.

13.4. Какая фигура получается вращением равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей высоту, опущенную на основание этого треугольника (рис. 13.5)?

Рис. 13.5

Решение

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC = BC$, а $AB$ является основанием. Осью вращения является прямая $a$, содержащая высоту, опущенную из вершины $C$ на основание $AB$. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как $H$. Таким образом, осью вращения является прямая, содержащая отрезок $CH$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и осью симметрии. Это означает, что высота $CH$ делит исходный треугольник $ABC$ на два равных прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

Поскольку треугольник $ABC$ симметричен относительно оси вращения $CH$, для определения получаемой фигуры достаточно рассмотреть вращение одной из его половин, например, прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ вокруг катета $CH$.

При вращении прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ вокруг прямой, содержащей его катет $CH$, происходит следующее:

- Катет $CH$ лежит на оси вращения, поэтому он образует высоту тела вращения.

- Катет $AH$, перпендикулярный оси вращения, при полном обороте описывает круг. Этот круг является основанием тела вращения, а его радиус равен длине катета $AH$.

- Гипотенуза $AC$ при вращении описывает боковую поверхность тела вращения. Длина гипотенузы $AC$ является образующей этой поверхности.

Фигура, ограниченная кругом в основании и конической поверхностью, боковая поверхность которой образована вращением гипотенузы, называется конусом.

Таким образом, вращение равнобедренного треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, образует конус.

Ответ: Конус.

13.5. Какая фигура получается при вращении отрезка AC вокруг прямой, лежащей в одной плоскости с этим отрезком, проходящей через его конец C и не перпендикулярной этому отрезку (рис. 13.6)?

Рис. 13.6

Решение

Рассмотрим фигуру, которая образуется при вращении отрезка $AC$ вокруг прямой $a$.

По условию, прямая $a$ (ось вращения) проходит через один из концов отрезка — точку $C$. Это означает, что при вращении точка $C$ остается на месте. Эта точка станет вершиной искомой фигуры.

Другой конец отрезка — точка $A$ — не лежит на оси вращения. В процессе вращения вокруг прямой $a$ точка $A$ будет двигаться по окружности. Центр этой окружности будет лежать на прямой $a$ (это будет основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $a$), а сама окружность будет лежать в плоскости, перпендикулярной оси вращения $a$. Эта окружность является основанием получаемой фигуры.

Сам отрезок $AC$ в процессе вращения будет заметать некоторую поверхность. Каждое положение вращающегося отрезка $AC$ называется образующей этой поверхности.

Поверхность, образованная вращением отрезка прямой вокруг другой прямой, пересекающей его в одной из конечных точек, называется конической поверхностью. Фигура, ограниченная конической поверхностью и её основанием (кругом, который описывает точка $A$), называется конусом.

Таким образом, в результате вращения отрезка $AC$ вокруг прямой $a$ получается конус (или, точнее, коническая поверхность).

Условие о том, что прямая $a$ не перпендикулярна отрезку $AC$, важно. Если бы прямая $a$ была перпендикулярна отрезку $AC$, то при вращении получился бы плоский круг (диск), а не конус.

Ответ: Коническая поверхность (конус).

(дан. 2018).

13.6. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите образующую конуса.

Дано:

Радиус основания конуса $r = 3$ см

Высота конуса $h = 4$ см

$r = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$h = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Образующую конуса $l$.

Решение:

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Высота конуса, его образующая и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, где высота ($h$) и радиус ($r$) являются катетами, а образующая ($l$) — гипотенузой.

Для нахождения длины образующей воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$l^2 = r^2 + h^2$

Отсюда, чтобы найти образующую $l$, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов радиуса и высоты:

$l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Подставим в формулу числовые значения, данные в условии задачи:

$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ (см).

Ответ: 5 см.

13.7. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдите:

а) радиус основания;

б) высоту конуса.

Дано:

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.

Сторона треугольника, $a = 10$ см.

Перевод в СИ:

$a = 0.1$ м.

Найти:

а) радиус основания конуса ($r$)

б) высоту конуса ($h$)

Решение:

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими ($l$) и диаметром основания ($d$). По условию задачи, этот треугольник является равносторонним со стороной $a = 10$ см. Это означает, что все его стороны равны.

Следовательно, образующая конуса равна стороне треугольника, и диаметр основания конуса также равен стороне треугольника:

$l = a = 10$ см

$d = a = 10$ см

а) радиус основания

Радиус основания ($r$) конуса равен половине его диаметра ($d$).

$r = \frac{d}{2}$

Подставим значение диаметра:

$r = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

б) высоту конуса

Высота конуса ($h$) совпадает с высотой равностороннего треугольника, который является осевым сечением. Высота ($h$), радиус ($r$) и образующая ($l$) конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. Применим теорему Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h^2 = l^2 - r^2$

$h = \sqrt{l^2 - r^2}$

Подставим известные значения $l = 10$ см и $r = 5$ см:

$h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75}$

Упростим полученное значение:

$h = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

13.8. Образующая конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту этого конуса.

Дано:

Образующая конуса $l = 2$ см

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30°$

$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Высоту конуса $h$

Решение:

Высота конуса ($h$), радиус его основания ($r$) и образующая ($l$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ — катетами. Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол $\alpha$ между образующей (гипотенузой) и радиусом основания (прилежащим катетом). Таким образом, высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$

Выразим из этой формулы искомую высоту $h$:

$h = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:

$h = 2 \cdot \sin(30°)$

Зная, что значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$, произведем вычисление:

$h = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см

Ответ: 1 см.

13.9. Образующая конуса равна 2 см и наклонена к плоскости основания под углом $60^{\circ}$. Найдите радиус основания этого конуса.

Дано:

$l = 2$ см

$\alpha = 60°$

$l = 0.02$ м

Найти:

$r$ - ?

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса, которое представляет собой прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является образующая конуса $l$, а катетами — высота конуса $h$ и радиус его основания $r$.

Угол между образующей и плоскостью основания конуса — это угол между гипотенузой $l$ и катетом $r$ в данном прямоугольном треугольнике. По условию задачи, этот угол $\alpha$ равен $60°$.

Для нахождения радиуса основания $r$ воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r}{l}$

Выразим из этой формулы радиус $r$:

$r = l \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу. Значение косинуса $60°$ равно $\frac{1}{2}$.

$r = 2 \text{ см} \cdot \cos(60°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Ответ: $1$ см.

13.10. Найдите площадь поверхности конуса,
радиус основания которого равен 1 см, а
образующая равна 2 см.

Дано:

Радиус основания конуса, $r = 1$ см

Образующая конуса, $l = 2$ см

$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности конуса, $S_{полн}$

Решение:

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ представляет собой сумму площади его основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Формула для расчета площади полной поверхности конуса:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания конуса, которое является кругом, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим известные значения в эти формулы, используя исходные единицы измерения (сантиметры).

Вычислим площадь основания:

$S_{осн} = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$

Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 2\pi \text{ см}^2$

Теперь найдем площадь полной поверхности конуса, сложив площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi \text{ см}^2 + 2\pi \text{ см}^2 = 3\pi \text{ см}^2$

Также можно было воспользоваться объединенной формулой для площади полной поверхности конуса:

$S_{полн} = \pi r (r + l) = \pi \cdot 1 \text{ см} \cdot (1 \text{ см} + 2 \text{ см}) = \pi \cdot 1 \cdot 3 \text{ см}^2 = 3\pi \text{ см}^2$

Ответ: $3\pi \text{ см}^2$.

13.11. Является ли разверткой боковой поверхности конуса часть круга, изображенная на рисунке 13.7?

Рис. 13.7

Решение

Разверткой боковой поверхности конуса является сектор круга. Радиус этого сектора $L$ становится образующей конуса, а длина дуги сектора $C_{дуги}$ — длиной окружности основания конуса.

На рисунке изображен сектор круга, центральный угол которого $\alpha$ можно найти, вычтя из полного угла $360^\circ$ угол вырезанной части, который равен $90^\circ$.

$\alpha = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$

Длина дуги сектора с радиусом $L$ и центральным углом $\alpha$ вычисляется по формуле:

$C_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi L$

Подставив наше значение $\alpha$, получим:

$C_{дуги} = \frac{270^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi L = \frac{3}{4} \cdot 2\pi L = \frac{3}{2}\pi L$

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C_{основания} = 2\pi r$, где $r$ — радиус основания конуса.

Приравняем эти два выражения:

$2\pi r = \frac{3}{2}\pi L$

Отсюда мы можем выразить радиус основания $r$ через образующую $L$:

$r = \frac{3\pi L}{2 \cdot 2\pi} = \frac{3}{4} L$

Для существования конуса необходимо, чтобы его образующая $L$ была больше радиуса основания $r$ (так как образующая, радиус и высота конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой). Проверим это условие:

$L > r \implies L > \frac{3}{4} L$

Данное неравенство верно для любого положительного $L$. Следовательно, из такой части круга можно сделать конус.

В общем случае, любой сектор круга с центральным углом $\alpha$, удовлетворяющим условию $0 < \alpha < 360^\circ$, может быть разверткой боковой поверхности конуса. В нашей задаче $\alpha = 270^\circ$, что удовлетворяет этому условию.

Ответ: Да, является.

13.12. На листе бумаги в клетку изобразите конус, аналогичный данному на рисунке 13.4. Изобразите его сечение плоскостью, параллельной оси этого конуса.

Решение

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов по построению на листе бумаги в клетку. Задача состоит из двух частей: изображение конуса и построение его сечения плоскостью, параллельной оси конуса.

1. Построение конуса

а) Начнем с основания конуса. В трехмерном пространстве основание конуса — это круг, но при изображении на плоскости в перспективе он выглядит как эллипс. Нарисуйте эллипс. Для удобства на бумаге в клетку можно выбрать центральную точку, отступить от нее, например, на 6 клеток влево и вправо (это будут концы большой оси эллипса) и на 2 клетки вверх и вниз (концы малой оси). Соедините эти четыре точки плавной кривой. Ту часть эллипса, которая является невидимой (дальняя от нас), следует изобразить пунктирной линией.

б) Из центра эллипса проведите вверх перпендикулярный отрезок. Это будет ось конуса.

в) На этой оси отметьте точку — вершину конуса. Высоту можно выбрать произвольно, например, 8-10 клеток от основания.

г) Соедините вершину конуса с крайними точками большой (горизонтальной) оси эллипса прямыми линиями. Эти линии являются крайними видимыми образующими конуса и задают его контур.

2. Построение сечения плоскостью, параллельной оси

а) Секущая плоскость параллельна оси конуса. В нашем построении ось является вертикальной, следовательно, секущая плоскость также будет "вертикальной". Такая плоскость пересечет основание конуса по прямой линии — хорде.

б) Выберем местоположение секущей плоскости. Она должна находиться между осью конуса и его краем. На эллипсе-основании проведите хорду, параллельную малой оси эллипса. Пусть она находится на расстоянии 4 клеток от центра.

в) Эта плоскость пересекает не только основание, но и боковую поверхность конуса. Линией пересечения боковой поверхности конуса и плоскости, параллельной его оси, является гипербола.

г) Чтобы изобразить сечение, нужно соединить концы хорды, полученной в основании, плавной выпуклой кривой, которая лежит на поверхности конуса. Эта кривая и есть дуга гиперболы.

Итоговое изображение конуса и его сечения представлено ниже. Заштрихованная область — это и есть искомое сечение.

Ответ:

Для построения на листе в клетку сначала изображается конус: рисуется эллипс в основании, из его центра проводится ось, на которой отмечается вершина, после чего вершина соединяется с краями эллипса. Сечение конуса плоскостью, параллельной его оси (и не содержащей ее), является фигурой, ограниченной снизу хордой основания конуса, а сверху — дугой гиперболы.