Номер 13.11, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.11. Является ли разверткой боковой поверхности конуса часть круга, изображенная на рисунке 13.7?

Рис. 13.7

Решение

Разверткой боковой поверхности конуса является сектор круга. Радиус этого сектора $L$ становится образующей конуса, а длина дуги сектора $C_{дуги}$ — длиной окружности основания конуса.

На рисунке изображен сектор круга, центральный угол которого $\alpha$ можно найти, вычтя из полного угла $360^\circ$ угол вырезанной части, который равен $90^\circ$.

$\alpha = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$

Длина дуги сектора с радиусом $L$ и центральным углом $\alpha$ вычисляется по формуле:

$C_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi L$

Подставив наше значение $\alpha$, получим:

$C_{дуги} = \frac{270^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi L = \frac{3}{4} \cdot 2\pi L = \frac{3}{2}\pi L$

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C_{основания} = 2\pi r$, где $r$ — радиус основания конуса.

Приравняем эти два выражения:

$2\pi r = \frac{3}{2}\pi L$

Отсюда мы можем выразить радиус основания $r$ через образующую $L$:

$r = \frac{3\pi L}{2 \cdot 2\pi} = \frac{3}{4} L$

Для существования конуса необходимо, чтобы его образующая $L$ была больше радиуса основания $r$ (так как образующая, радиус и высота конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой). Проверим это условие:

$L > r \implies L > \frac{3}{4} L$

Данное неравенство верно для любого положительного $L$. Следовательно, из такой части круга можно сделать конус.

В общем случае, любой сектор круга с центральным углом $\alpha$, удовлетворяющим условию $0 < \alpha < 360^\circ$, может быть разверткой боковой поверхности конуса. В нашей задаче $\alpha = 270^\circ$, что удовлетворяет этому условию.

Ответ: Да, является.