Номер 13.15, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.15. Имеет ли конус:
а) центр симметрии;
б) ось симметрии;
в) плоскости симметрии?

а)

Центр симметрии – это такая точка, относительно которой любая точка фигуры симметрично отображается на другую точку той же фигуры. У конуса нет центра симметрии. Предположим, что такая точка существует. Тогда вершина конуса, как уникальная точка, должна была бы симметрично отобразиться на другую точку, принадлежащую конусу. Однако у вершины нет симметричной ей точки в пределах конуса. Если взять любую точку на оси конуса в качестве предполагаемого центра симметрии, то вершина конуса отобразится в точку вне конуса (либо под основанием, либо "внутри" конуса, но не на его поверхности, за исключением самой вершины). Аналогично, точкам на окружности основания не будет соответствовать симметричных точек на боковой поверхности. Следовательно, конус не имеет центра симметрии.

Ответ: нет.

б)

Ось симметрии – это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Для прямого кругового конуса такая ось есть, и она единственная. Это прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания (то есть, содержащая высоту конуса). При повороте вокруг этой оси на любой угол конус совмещается сам с собой. Других осей симметрии у конуса нет. При вращении вокруг любой другой оси форма и положение конуса изменятся.

Ответ: да, одну ось симметрии – прямую, содержащую его высоту.

в)

Плоскость симметрии – это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. У конуса есть плоскости симметрии. Любая плоскость, проходящая через ось конуса, является его плоскостью симметрии. Сечением конуса такой плоскостью является равнобедренный треугольник, и эта плоскость делит конус на две равные, зеркально симметричные части. Поскольку через ось конуса (прямую) можно провести бесконечное множество плоскостей, конус имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.

Ответ: да, бесконечное множество плоскостей симметрии. Каждая такая плоскость проходит через ось конуса.