Номер 13.13, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.13. Радиус основания конуса равен 1 см. Через середину высоты этого цилиндра проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 1 \text{ см}$.

Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь получившегося сечения $S_{сеч}$.

Решение:

В условии задачи есть неточность: "...этого цилиндра". Судя по контексту и началу условия ("Радиус основания конуса..."), речь идет о конусе. Для цилиндра сечение, параллельное основанию, всегда было бы равно основанию, и задача не имела бы смысла в такой формулировке. Поэтому будем решать задачу для конуса.

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг. Чтобы найти площадь этого круга ($S_{сеч}$), необходимо определить его радиус, который мы обозначим как $r$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно имеет форму равнобедренного треугольника. Высота конуса $H$ является высотой этого треугольника, а радиус основания $R$ — половиной его основания.

Плоскость, проходящая через середину высоты конуса, отсекает от него меньший конус, который подобен исходному. Высота малого (отсеченного) конуса $h$ равна половине высоты большого конуса $H$, так как сечение проведено через середину высоты:

$h = \frac{1}{2}H$

Коэффициент подобия $k$ малого конуса к большому равен отношению их высот:

$k = \frac{h}{H} = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение радиуса сечения $r$ к радиусу основания $R$ также равно коэффициенту подобия:

$\frac{r}{R} = k = \frac{1}{2}$

Зная радиус основания $R = 1 \text{ см}$, мы можем найти радиус сечения $r$:

$r = R \cdot k = 1 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 0.5 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь сечения, которая является площадью круга радиусом $r$, по формуле $S = \pi r^2$:

$S_{сеч} = \pi \cdot (0.5 \text{ см})^2 = \pi \cdot 0.25 \text{ см}^2 = \frac{\pi}{4} \text{ см}^2$

Альтернативный способ решения:

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Основание конуса и его сечение — это подобные фигуры (круги).

$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Сначала найдем площадь основания конуса $S_{осн}$:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$

Затем найдем площадь сечения:

$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \frac{1}{4} = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4} \text{ см}^2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: площадь получившегося сечения равна $\frac{\pi}{4} \text{ см}^2$ (или $0.25\pi \text{ см}^2$).