Номер 13.18, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.18. Какая фигура получается при вращении единичного квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ (рис. 13.11)? Найдите площадь ее поверхности.

Рис. 13.11

Какая фигура получается при вращении единичного квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ?

При вращении квадрата вокруг его диагонали образуется тело вращения. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. Вращение каждого из этих треугольников вокруг одного из катетов (который лежит на оси вращения) создает конус. Таким образом, итоговая фигура состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Общая ось симметрии конусов совпадает с диагональю квадрата, а общее основание — это круг, который описывает вторая диагональ квадрата при вращении.

Ответ: Фигура, состоящая из двух одинаковых конусов, соединенных основаниями.

Найдите площадь ее поверхности.

Дано:
Сторона единичного квадрата $a = 1$.
Ось вращения — прямая, содержащая диагональ квадрата.

Найти:
Площадь поверхности тела вращения $S_{пов}$.

Решение:
Площадь поверхности полученного тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов, из которых оно состоит. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.
1. Образующая ($l$) каждого конуса равна стороне квадрата. Таким образом, $l = a = 1$.
2. Радиус ($r$) общего основания конусов равен половине длины второй диагонали квадрата. Длину диагонали ($d$) квадрата со стороной $a$ можно найти по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Поскольку $a = 1$, то $d = \sqrt{2}$.
Радиус основания $r$ равен половине диагонали: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Теперь можем найти площадь боковой поверхности одного конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$.
4. Полная площадь поверхности тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей двух таких конусов:
$S_{пов} = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$.

Ответ: Площадь поверхности равна $\pi\sqrt{2}$ квадратных единиц.