Номер 13.25, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.25. Изобразите конус и центрально-симметричный ему конус относительно середины высоты. Какая фигура будет общей частью этих конусов. Найдите площадь ее поверхности, если радиус основания исходного конуса равен 1 см, а образующая равна 2 см.

Какая фигура будет общей частью этих конусов.

Пусть исходный конус имеет вершину $V$, центр основания $O$ и высоту $H$, равную длине отрезка $VO$. Центр симметрии — точка $M$, которая является серединой высоты $VO$.

При центральной симметрии относительно точки $M$ вершина $V$ исходного конуса отобразится в центр его основания $O$, а центр основания $O$ отобразится в вершину $V$. Основание исходного конуса (окружность) отобразится в равную ему окружность, расположенную в плоскости, проходящей через точку $V$ и параллельной исходному основанию.

Таким образом, мы получаем два одинаковых конуса, имеющих общую ось. Они обращены вершинами друг к другу, причем вершина каждого конуса совпадает с центром основания другого.

Общая часть (пересечение) этих двух конусов представляет собой тело, образованное вращением их осевого сечения вокруг общей оси. Осевое сечение представляет собой два равных равнобедренных треугольника, пересечение которых — ромб. При вращении этого ромба вокруг оси, проходящей через одну из его диагоналей (которая совпадает с высотой конусов), образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных общими основаниями. Такое тело называется биконусом или двойным конусом.

Ответ: Общей частью этих конусов является биконус (два конуса, соединенные общими основаниями).

Найдите площадь ее поверхности, если радиус основания исходного конуса равен 1 см, а образующая равна 2 см.

Дано:
Радиус основания исходного конуса $R = 1$ см.
Образующая исходного конуса $L = 2$ см.

Найти:
Площадь поверхности общей части (биконуса) $S$.

Решение:

Как было установлено, общая часть представляет собой биконус. Его поверхность состоит из боковых поверхностей двух одинаковых малых конусов. Площадь поверхности биконуса $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного такого малого конуса $S_{бок}$: $S = 2 \cdot S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания малого конуса, а $l$ — его образующая.

Малый конус, образующий половину биконуса, подобен исходному конусу. Плоскость общего основания малых конусов проходит через центр симметрии $M$, то есть через середину высоты $H$ исходного конуса. Следовательно, высота малого конуса $h$ равна половине высоты исходного конуса $H$, то есть $h = H/2$.

Коэффициент подобия $k$ малого конуса исходному равен отношению их высот: $k = \frac{h}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$. Все линейные размеры малого конуса будут в $k$ раз меньше соответствующих размеров исходного конуса.

Найдем радиус основания $r$ и образующую $l$ малого конуса:
$r = k \cdot R = \frac{1}{2} R = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}$.
$l = k \cdot L = \frac{1}{2} L = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности одного малого конуса: $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 0.5 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 0.5\pi \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности биконуса равна: $S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot 0.5\pi \text{ см}^2 = \pi \text{ см}^2$.

Ответ: $S = \pi$ см$^2$.