Номер 13.31, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.31. Меруерт хотела на день рождения изготовить из бумаги 8 головных уборов, имеющих форму конуса, высота которого $8 \text{ см}$, а радиус основания — $6 \text{ см}$. Сколько бумаги (в $\text{см}^2$) ей потребуется для изготовления этих головных уборов? (Примите $\pi \approx 3$).

Дано:

Количество головных уборов, $n = 8$

Высота конуса, $h = 8$ см

Радиус основания конуса, $r = 6$ см

$\pi \approx 3$

Перевод в систему СИ:

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$r = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Общую площадь бумаги $S_{общ}$ в см$^2$.

Решение:

Головной убор имеет форму конуса без основания. Площадь бумаги, необходимая для изготовления одного убора, равна площади боковой поверхности конуса ($S_{бок}$). Формула для площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l$

где $r$ — это радиус основания, а $l$ — это образующая конуса.

Сначала необходимо найти длину образующей $l$. Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + r^2}$

Подставим известные значения $h$ и $r$ (поскольку ответ требуется в см$^2$, вычисления будем проводить в сантиметрах):

$l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности одного головного убора ($S_1$), используя данное в условии приближение $\pi \approx 3$:

$S_1 = \pi r l \approx 3 \times 6 \times 10 = 180$ см$^2$.

Для изготовления 8 головных уборов потребуется в 8 раз больше бумаги. Найдем общую площадь ($S_{общ}$):

$S_{общ} = n \times S_1 = 8 \times 180 = 1440$ см$^2$.

Ответ: для изготовления этих головных уборов потребуется 1440 см$^2$ бумаги.