Страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.25. Изобразите конус и центрально-симметричный ему конус относительно середины высоты. Какая фигура будет общей частью этих конусов. Найдите площадь ее поверхности, если радиус основания исходного конуса равен 1 см, а образующая равна 2 см.

Какая фигура будет общей частью этих конусов.

Пусть исходный конус имеет вершину $V$, центр основания $O$ и высоту $H$, равную длине отрезка $VO$. Центр симметрии — точка $M$, которая является серединой высоты $VO$.

При центральной симметрии относительно точки $M$ вершина $V$ исходного конуса отобразится в центр его основания $O$, а центр основания $O$ отобразится в вершину $V$. Основание исходного конуса (окружность) отобразится в равную ему окружность, расположенную в плоскости, проходящей через точку $V$ и параллельной исходному основанию.

Таким образом, мы получаем два одинаковых конуса, имеющих общую ось. Они обращены вершинами друг к другу, причем вершина каждого конуса совпадает с центром основания другого.

Общая часть (пересечение) этих двух конусов представляет собой тело, образованное вращением их осевого сечения вокруг общей оси. Осевое сечение представляет собой два равных равнобедренных треугольника, пересечение которых — ромб. При вращении этого ромба вокруг оси, проходящей через одну из его диагоналей (которая совпадает с высотой конусов), образуется тело, состоящее из двух одинаковых конусов, соединенных общими основаниями. Такое тело называется биконусом или двойным конусом.

Ответ: Общей частью этих конусов является биконус (два конуса, соединенные общими основаниями).

Найдите площадь ее поверхности, если радиус основания исходного конуса равен 1 см, а образующая равна 2 см.

Дано:
Радиус основания исходного конуса $R = 1$ см.
Образующая исходного конуса $L = 2$ см.

Найти:
Площадь поверхности общей части (биконуса) $S$.

Решение:

Как было установлено, общая часть представляет собой биконус. Его поверхность состоит из боковых поверхностей двух одинаковых малых конусов. Площадь поверхности биконуса $S$ равна удвоенной площади боковой поверхности одного такого малого конуса $S_{бок}$: $S = 2 \cdot S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания малого конуса, а $l$ — его образующая.

Малый конус, образующий половину биконуса, подобен исходному конусу. Плоскость общего основания малых конусов проходит через центр симметрии $M$, то есть через середину высоты $H$ исходного конуса. Следовательно, высота малого конуса $h$ равна половине высоты исходного конуса $H$, то есть $h = H/2$.

Коэффициент подобия $k$ малого конуса исходному равен отношению их высот: $k = \frac{h}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$. Все линейные размеры малого конуса будут в $k$ раз меньше соответствующих размеров исходного конуса.

Найдем радиус основания $r$ и образующую $l$ малого конуса:
$r = k \cdot R = \frac{1}{2} R = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см} = 0.5 \text{ см}$.
$l = k \cdot L = \frac{1}{2} L = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности одного малого конуса: $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 0.5 \text{ см} \cdot 1 \text{ см} = 0.5\pi \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности биконуса равна: $S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot 0.5\pi \text{ см}^2 = \pi \text{ см}^2$.

Ответ: $S = \pi$ см$^2$.

13.26. Найдите радиус основания конуса, разверткой боковой поверхности которого является полукруг радиусом 1 см.

Дано:

Развертка боковой поверхности конуса - полукруг.

Радиус полукруга (развертки) $R = 1$ см.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания конуса $r$.

Решение:

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

По условию задачи, разверткой является полукруг радиусом $R = 1$ см. Следовательно, образующая конуса $l$ равна радиусу этого полукруга:

$l = R = 1$ см.

Длина дуги развертки, которая является полукругом, вычисляется по формуле:

$L_{дуги} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi R = \pi R$

Подставим значение радиуса $R$:

$L_{дуги} = \pi \cdot 1 = \pi$ см.

Длина дуги развертки $L_{дуги}$ равна длине окружности основания конуса $C$. Длина окружности основания конуса с радиусом $r$ вычисляется по формуле:

$C = 2\pi r$

Приравниваем длину дуги развертки и длину окружности основания:

$L_{дуги} = C$

$\pi R = 2\pi r$

Подставим известные значения и выразим искомый радиус $r$:

$\pi \cdot 1 = 2\pi r$

$\pi = 2\pi r$

$r = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Ответ: радиус основания конуса равен 0,5 см.

13.27. Радиус основания конуса равен 1 см, образующая равна 3 см.

Найдите центральный угол развертки боковой поверхности этого конуса.

Дано:

Радиус основания конуса $r = 1$ см

Образующая конуса $l = 3$ см

Перевод в систему СИ:
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Центральный угол развертки боковой поверхности $\alpha$.

Решение:

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

1. Найдем длину окружности основания конуса по формуле $C = 2\pi r$.

Подставим значение радиуса основания $r = 1$ см:

$C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$ см.

2. Длина дуги кругового сектора (развертки) с радиусом $l$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) вычисляется по формуле $L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l$.

3. Поскольку длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса ($L_{дуги} = C$), мы можем составить уравнение:

$\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l = 2\pi r$.

Сократим обе части уравнения на $2\pi$:

$\frac{\alpha}{360^\circ} \cdot l = r$.

Выразим из этой формулы искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ$.

4. Подставим известные значения $r=1$ см и $l=3$ см в полученную формулу:

$\alpha = \frac{1}{3} \cdot 360^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

13.28. Осевое сечение конуса — правильный треугольник ABC со стороной 1 см. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности этого конуса из точки A в точку D — середину стороны BC (рис. 13.16).

Рис. 13.16

Дано:

Осевое сечение конуса — правильный треугольник $ABC$.

Сторона треугольника $AC = BC = AB = a = 1 \text{ см}$.

Точка $D$ — середина образующей $BC$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Длину кратчайшего пути по поверхности конуса из точки $A$ в точку $D$.

Решение:

Кратчайший путь между двумя точками на боковой поверхности конуса — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки на развертке боковой поверхности конуса.

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Найдем параметры этого сектора.

Поскольку осевое сечение $ABC$ — правильный треугольник со стороной $a=1$ см, то образующая конуса $l$ равна стороне этого треугольника, а радиус основания $r$ равен половине основания треугольника.

Образующая конуса: $l = AC = BC = 1$ см.

Радиус основания конуса: $r = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Радиус сектора развертки равен образующей конуса: $R_{сект} = l = 1$ см.

Длина дуги сектора развертки равна длине окружности основания конуса: $L_{дуги} = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 0.5 = \pi$ см.

Угол сектора развертки $\alpha$ (в радианах) находится по формуле $L_{дуги} = \alpha \cdot R_{сект}$.

$\alpha = \frac{L_{дуги}}{R_{сект}} = \frac{\pi}{1} = \pi$ радиан. Это соответствует $180^\circ$. Таким образом, развертка боковой поверхности конуса является полукругом.

На развертке вершина конуса $C$ является центром полукруга. Точка $A$ лежит на одном из краев развертки (на радиусе). Образующая $BC$, на которой лежит точка $D$, на развертке будет расположена под углом к образующей $AC$. Так как точки $A$ и $B$ в основании конуса диаметрально противоположны (они являются концами диаметра в осевом сечении), то на развертке угол между образующими $AC$ и $BC$ будет равен половине угла всей развертки.

Угол на развертке $\angle{ACD} = \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Искомый кратчайший путь — это длина отрезка $AD$ на развертке. Рассмотрим треугольник $ACD$ на развертке.

Сторона $AC$ равна радиусу сектора, т.е. $AC = l = 1$ см.

Точка $D$ — середина образующей $BC$, следовательно, на развертке точка $D$ лежит на отрезке $BC$ и делит его пополам. Длина отрезка $CD$ равна: $CD = \frac{BC}{2} = \frac{l}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Угол между сторонами $AC$ и $CD$ в треугольнике $ACD$ на развертке равен $\angle{ACD} = \frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$).

Следовательно, треугольник $ACD$ на развертке является прямоугольным. Искомая длина $AD$ является его гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$AD^2 = AC^2 + CD^2$

$AD^2 = 1^2 + (0.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25$

$AD = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: кратчайший путь равен $\frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

13.29. Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши – 2 м. Диаметр основания башни – 6 м. Сколько листов кровельного железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,7 x 1,4, а на швы идет 10% требующегося железа? (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 13.16

Дано:

Форма крыши - конус

Высота конуса $h = 2$ м

Диаметр основания конуса $d = 6$ м

Размеры листа железа: $0,7$ м $\times$ $1,4$ м

Расход на швы = $10\%$ от требующегося железа

$\pi \approx 3$

Найти:

Количество листов кровельного железа $N$

Решение:

1. Первым шагом найдем площадь поверхности, которую необходимо покрыть. Так как крыша имеет форму конуса, нам нужно вычислить площадь её боковой поверхности. Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ - радиус основания, а $l$ - длина образующей.

2. Вычислим радиус основания конуса ($r$). Диаметр основания $d$ равен 6 м, следовательно, радиус равен его половине:

$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м}$.

3. Далее найдем длину образующей конуса ($l$). Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ формируют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. Применяя теорему Пифагора, получаем:

$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \text{ м}$.

4. Теперь можно рассчитать площадь боковой поверхности крыши ($S_{крыши}$), используя заданное в условии приближение $\pi \approx 3$:

$S_{крыши} = \pi r l = 3 \times 3 \times \sqrt{13} = 9\sqrt{13} \text{ м}^2$.

5. Учтем, что на швы уходит 10% требующегося железа. Следовательно, общая площадь железа ($S_{общ}$), которую необходимо приобрести, составляет 110% от площади крыши:

$S_{общ} = S_{крыши} \times (1 + 0,1) = 1,1 \times S_{крыши} = 1,1 \times 9\sqrt{13} = 9,9\sqrt{13} \text{ м}^2$.

6. Рассчитаем площадь одного листа кровельного железа ($S_{листа}$):

$S_{листа} = 0,7 \text{ м} \times 1,4 \text{ м} = 0,98 \text{ м}^2$.

7. Наконец, определим необходимое количество листов ($N$), разделив общую требуемую площадь железа на площадь одного листа:

$N = \frac{S_{общ}}{S_{листа}} = \frac{9,9\sqrt{13}}{0,98}$.

Для получения численного ответа, используем приближенное значение $\sqrt{13} \approx 3,606$:

$N \approx \frac{9,9 \times 3,606}{0,98} \approx \frac{35,6994}{0,98} \approx 36,428$.

Поскольку листы железа продаются целиком, полученное значение необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.

Таким образом, потребуется 37 листов.

Ответ: 37 листов.

13.30. Найдите площадь поверхности кучи песка на строительной площадке, имеющей форму конуса (рис.13.17). Измерив мягкой метровой лентой длину окружности основания кучи песка, получили 21,6 м. Перекинув метровую ленту через вершину кучи, определили длину двух образующих — 7,8 м. (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 13.17

Дано:

Куча песка в форме конуса.

Длина окружности основания, $C = 21.6$ м.

Длина двух образующих, $2l = 7.8$ м.

Число $\pi \approx 3$.

Найти:

Площадь поверхности кучи песка $S_{бок}$ - ?

Решение:

Площадь поверхности кучи песка — это площадь боковой поверхности конуса, которая вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

1. Найдем длину образующей $l$. Из условия известно, что длина двух образующих равна 7,8 м. Следовательно, длина одной образующей будет:

$l = \frac{7.8 \text{ м}}{2} = 3.9 \text{ м}$

2. Найдем радиус основания конуса $r$. Длина окружности основания связана с радиусом формулой $C = 2 \pi r$. Выразим радиус из этой формулы:

$r = \frac{C}{2 \pi}$

Подставим данные из условия задачи:

$r = \frac{21.6 \text{ м}}{2 \cdot 3} = \frac{21.6 \text{ м}}{6} = 3.6 \text{ м}$

3. Теперь, зная радиус основания и длину образующей, можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l \approx 3 \cdot 3.6 \text{ м} \cdot 3.9 \text{ м} = 42.12 \text{ м}^2$

Ответ: площадь поверхности кучи песка составляет $42.12 \text{ м}^2$.

13.31. Меруерт хотела на день рождения изготовить из бумаги 8 головных уборов, имеющих форму конуса, высота которого $8 \text{ см}$, а радиус основания — $6 \text{ см}$. Сколько бумаги (в $\text{см}^2$) ей потребуется для изготовления этих головных уборов? (Примите $\pi \approx 3$).

Дано:

Количество головных уборов, $n = 8$

Высота конуса, $h = 8$ см

Радиус основания конуса, $r = 6$ см

$\pi \approx 3$

Перевод в систему СИ:

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$r = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Общую площадь бумаги $S_{общ}$ в см$^2$.

Решение:

Головной убор имеет форму конуса без основания. Площадь бумаги, необходимая для изготовления одного убора, равна площади боковой поверхности конуса ($S_{бок}$). Формула для площади боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi r l$

где $r$ — это радиус основания, а $l$ — это образующая конуса.

Сначала необходимо найти длину образующей $l$. Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + r^2}$

Подставим известные значения $h$ и $r$ (поскольку ответ требуется в см$^2$, вычисления будем проводить в сантиметрах):

$l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности одного головного убора ($S_1$), используя данное в условии приближение $\pi \approx 3$:

$S_1 = \pi r l \approx 3 \times 6 \times 10 = 180$ см$^2$.

Для изготовления 8 головных уборов потребуется в 8 раз больше бумаги. Найдем общую площадь ($S_{общ}$):

$S_{общ} = n \times S_1 = 8 \times 180 = 1440$ см$^2$.

Ответ: для изготовления этих головных уборов потребуется 1440 см$^2$ бумаги.