Страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.27. Повторите определения равнобедренного треугольника и кругового сектора.

Определение равнобедренного треугольника
Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.
Основные свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны.
2. Биссектриса, проведённая к основанию, является также медианой и высотой.
Ответ: Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

Определение кругового сектора
Круговым сектором (или просто сектором) называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром этого круга.
Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным углом сектора. Если $r$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера центрального угла, то площадь сектора $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{\pi r^2}{360} \cdot \alpha$. Длина дуги сектора $l$ вычисляется по формуле: $l = \frac{2\pi r}{360} \cdot \alpha = \frac{\pi r}{180} \cdot \alpha$.
Ответ: Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Докажите, что осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основанием которого служит диаметр основания конуса.

Решение

Рассмотрим конус. По определению, конус (в данном случае прямой круговой конус) — это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Осевое сечение конуса — это сечение, проходящее через его ось. Ось конуса соединяет его вершину с центром основания и перпендикулярна плоскости основания.

Пусть у нас есть конус с вершиной P, центром основания O и радиусом основания R. Осью конуса является отрезок PO.

Рассмотрим плоскость, которая проходит через ось PO.

1. Эта плоскость пересекает основание конуса, которое является кругом. Поскольку плоскость проходит через центр круга O, линия пересечения будет диаметром этого круга. Обозначим точки пересечения с окружностью основания как A и B. Таким образом, отрезок AB является диаметром основания, и его длина равна $2R$. Этот отрезок будет одной из сторон сечения.

2. Эта плоскость также пересекает боковую поверхность конуса. Линиями пересечения будут две образующие конуса, соединяющие вершину P с точками A и B на окружности основания. Этими образующими являются отрезки PA и PB.

В результате мы получаем фигуру, ограниченную отрезками PA, PB и AB. Эта фигура является треугольником PAB.

Теперь докажем, что этот треугольник является равнобедренным.

Образующие PA и PB — это отрезки, соединяющие вершину конуса с точками на окружности его основания. По определению прямого кругового конуса, все его образующие имеют одинаковую длину. Следовательно, PA = PB.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Так как в треугольнике PAB стороны PA и PB равны, то он является равнобедренным.

Основанием этого равнобедренного треугольника является третья сторона AB, которая, как мы установили, является диаметром основания конуса.

Таким образом, осевое сечение конуса действительно является равнобедренным треугольником, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса.

Ответ: Утверждение доказано. Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, образованный двумя образующими (равными боковыми сторонами) и диаметром основания (основанием треугольника).