Страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.13. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением единичного куба вокруг прямой:

а) $AA_1$;

б) соединяющей центры его противоположных граней (рис. 12.11).

Рис. 12.11

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$, получающегося вращением куба вокруг:

а) прямой $AA_1$;

б) прямой, соединяющей центры его противолежащих граней.

Решение:

Формула для нахождения площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

а)

Рассмотрим вращение единичного куба вокруг прямой, содержащей его ребро $AA_1$.

Высота цилиндра $H$ в этом случае будет равна длине ребра, являющегося осью вращения.

$H = AA_1 = a = 1$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен наибольшему расстоянию от точек куба до оси вращения $AA_1$. Наиболее удаленной от ребра $AA_1$ является противоположное ему ребро $CC_1$. Расстояние от оси $AA_1$ до любой точки на ребре $CC_1$ равно длине диагонали грани куба. Возьмем, к примеру, расстояние от точки $A$ на оси вращения до точки $C$. Это диагональ квадрата $ABCD$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$, $AB = 1$, $BC = 1$):

$R = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}\pi$.

Ответ: $2\sqrt{2}\pi$.

б)

Рассмотрим вращение единичного куба вокруг прямой, соединяющей центры его противоположных граней (например, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$). Эта прямая является осью симметрии куба и параллельна его боковым ребрам.

Высота цилиндра $H$ будет равна расстоянию между центрами граней, что равно длине ребра куба.

$H = a = 1$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен наибольшему расстоянию от точек куба до оси вращения. Ось вращения проходит через центры оснований, поэтому наиболее удаленными точками будут вершины куба (и, соответственно, боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$). Расстояние от оси до любой из этих вершин будет одинаковым. Найдем это расстояние как расстояние от центра квадрата $ABCD$ до одной из его вершин, например, до вершины $A$. Это расстояние равно половине диагонали квадрата.

Длина диагонали грани $AC = \sqrt{2}$ (из пункта а).

Радиус основания цилиндра:

$R = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \sqrt{2}\pi$.

Ответ: $\sqrt{2}\pi$.

12.14. Какая фигура получится при вращении правильной треугольной призмы вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 12.12)?

$A_1$, $B_1$, $C_1$, $A$, $B$, $C$, $a$

Рис. 12.12

а) содержащей боковое ребро

Рассмотрим правильную треугольную призму, в основании которой лежит правильный треугольник со стороной $a$, а высота призмы равна $h$. Ось вращения проходит через одно из боковых ребер призмы.

Тело вращения можно представить как объединение фигур, которые описывают все точки призмы при вращении. Удобно рассмотреть вращение поперечного сечения призмы, перпендикулярного оси вращения. Таким сечением является правильный треугольник, равный основанию призмы. Ось вращения проходит через одну из его вершин.

При вращении сплошного треугольника вокруг одной из его вершин он полностью покрывает (заметает) круг. Радиус этого круга равен наибольшему расстоянию от вершины, служащей центром вращения, до любой точки треугольника. Это расстояние равно длине стороны треугольника, то есть $a$.

Так как все поперечные сечения призмы, перпендикулярные оси вращения, одинаковы, то при вращении всей призмы образуется тело, состоящее из стопки одинаковых кругов радиуса $a$. Такое тело является прямым круговым цилиндром, высота которого равна высоте призмы $h$, а радиус основания — стороне основания призмы $a$.

Ответ: Цилиндр, высота которого равна высоте призмы, а радиус основания равен стороне основания призмы.

б) проходящей через центры ее оснований

Рассмотрим вращение той же правильной треугольной призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим вращение поперечного сечения, перпендикулярного оси вращения. Это правильный треугольник со стороной $a$, а ось вращения проходит через его центр (центр описанной и вписанной окружностей).

При вращении сплошного треугольника вокруг своего центра он полностью заметает круг. Радиус этого круга равен максимальному расстоянию от центра до точки на треугольнике, то есть расстоянию от центра до любой из вершин. Это расстояние является радиусом описанной около правильного треугольника окружности.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Поскольку все поперечные сечения призмы при вращении образуют одинаковые круги радиуса $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, итоговая фигура вращения представляет собой прямой круговой цилиндр.

Ответ: Цилиндр, высота которого равна высоте призмы, а радиус основания равен радиусу окружности, описанной около основания призмы ($R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — сторона основания).

12.15. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 12.12).

Рис. 12.12

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением.

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

a) содержащей боковое ребро

Пусть осью вращения является прямая, содержащая боковое ребро, например, $CC_1$.

Высота получающегося цилиндра $H$ равна высоте призмы, то есть длине бокового ребра: $H = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен наибольшему расстоянию от точек призмы до оси вращения $CC_1$. В основании призмы лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной 1 см. Наиболее удаленными от оси $CC_1$ являются точки, лежащие на ребре $AA_1$. Расстояние от любой точки на ребре $AA_1$ до оси $CC_1$ равно длине стороны основания $AC$.

Так как все ребра призмы равны 1 см, то $AC = 1$ см. Следовательно, радиус цилиндра $R = 1$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ (см$^2$).

Ответ: $2\pi$ см$^2$.

б) проходящей через центры ее оснований

Осью вращения является прямая, проходящая через центры оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Эта прямая является осью симметрии правильной призмы.

Высота получающегося цилиндра $H$ равна высоте призмы: $H = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен расстоянию от оси вращения до вершин призмы. Это расстояние равно радиусу окружности, описанной около основания призмы. Основание — правильный треугольник со стороной $a = 1$ см.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляя значение $a=1$ см, получаем:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$ (см$^2$).

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{бок} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ (см$^2$).

Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.

12.16. Какая фигура получится при вращении правильной шести-угольной призмы вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 12.13)?

$E_1$

$A_1$

$B_1$

$D_1$

$C_1$

$F$

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

$D$

Рис. 12.13

а)

Рассмотрим вращение правильной шестиугольной призмы вокруг прямой, содержащей ее боковое ребро. В качестве оси вращения выберем ребро $AA_1$, показанное на рисунке.

Тело вращения образуется путем вращения всех точек призмы вокруг заданной оси. Чтобы определить форму этого тела, необходимо найти точки призмы, которые находятся на максимальном расстоянии от оси вращения. Это расстояние и будет радиусом тела вращения.

Основанием призмы является правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть сторона основания равна $a$, а высота призмы (длина бокового ребра) равна $h$. Ось вращения $AA_1$ проходит через вершину $A$ основания.

В плоскости основания $ABCDEF$ наиболее удаленной от вершины $A$ является противоположная ей вершина $D$. Расстояние $AD$ — это большая диагональ правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше длины его стороны, то есть $AD = 2a$.

Следовательно, любая точка, принадлежащая боковому ребру $DD_1$, будет максимально удалена от оси вращения $AA_1$. При вращении призмы ребро $DD_1$, будучи параллельным оси вращения, описывает боковую поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $R$ будет равен расстоянию $AD$, то есть $R=2a$, а высота будет равна высоте призмы $h$.

Поскольку ось вращения $AA_1$ является одним из ребер призмы, все точки призмы при вращении заполнят пространство внутри этого цилиндра, не оставляя в центре пустоты. Таким образом, итоговая фигура — сплошной цилиндр.

Ответ: Получится цилиндр, радиус основания которого равен большой диагонали основания призмы, а высота равна высоте призмы.

б)

Рассмотрим вращение правильной шестиугольной призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Пусть центры оснований — точки $E$ и $E_1$ (согласно рисунку, хотя обычно их обозначают $O$ и $O_1$). Ось вращения — прямая $EE_1$.

Наибольшее расстояние от точек призмы до оси вращения $EE_1$ будет равно расстоянию от этой оси до любого из боковых ребер, например, до ребра $AA_1$, $BB_1$ и так далее.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны шестиугольника. Если сторона основания равна $a$, то расстояние от центра $E$ до любой из вершин $A, B, C, D, F$ (в нижнем основании) равно $a$.

Следовательно, все боковые ребра призмы равноудалены от оси вращения $EE_1$ на расстояние $a$. При вращении призмы вокруг этой оси, каждое боковое ребро описывает цилиндрическую поверхность с радиусом $R = a$ и высотой $h$ (высота призмы).

Так как все эти цилиндрические поверхности совпадают и являются внешними границами для вращающихся точек призмы, а сама призма является сплошным телом, то в результате вращения образуется сплошной цилиндр.

Ответ: Получится цилиндр, радиус основания которого равен стороне основания призмы (или радиусу описанной около основания окружности), а высота равна высоте призмы.

12.17. Найдите площадь поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 12.13).

Дано:

Правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 0.01$ м.

Найти:

а) $S_a$ - площадь поверхности цилиндра, получающегося вращением призмы вокруг прямой, содержащей боковое ребро.

б) $S_б$ - площадь поверхности цилиндра, получающегося вращением призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований.

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2\pi Rh + 2\pi R^2 = 2\pi R(h+R)$, где $R$ - радиус основания, а $h$ - высота цилиндра.

а)

Рассмотрим вращение призмы вокруг прямой, содержащей боковое ребро. В результате вращения образуется прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра $h$ равна высоте призмы. По условию, все ребра правильной шестиугольной призмы равны 1 см, значит, высота равна стороне основания: $h = a = 0.01$ м.

Радиус основания цилиндра $R_a$ определяется как наибольшее расстояние от оси вращения до точки на поверхности призмы. При вращении вокруг бокового ребра (например, $AA_1$ на рисунке), наиболее удаленной является вершина противоположного ребра (например, $DD_1$). Расстояние от оси вращения до этой вершины равно большой диагонали шестиугольного основания.

Большая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. Следовательно, радиус основания цилиндра: $R_a = 2a = 2 \cdot 0.01 \text{ м} = 0.02$ м.

Теперь вычислим площадь полной поверхности полученного цилиндра:

$S_a = 2\pi R_a(h + R_a) = 2\pi \cdot 0.02 \cdot (0.01 + 0.02) = 0.04\pi \cdot 0.03 = 0.0012\pi$ м².

Ответ: $0.0012\pi$ м².

б)

Рассмотрим вращение призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований. Эта прямая является осью симметрии призмы. В результате вращения также образуется прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра $h$ равна высоте призмы: $h = a = 0.01$ м.

Радиус основания цилиндра $R_б$ равен расстоянию от оси вращения (центра основания) до любой из вершин шестиугольника. Для правильного шестиугольника это расстояние равно его стороне (так как правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников), что также является радиусом описанной окружности.

Следовательно, радиус основания цилиндра: $R_б = a = 0.01$ м.

Вычислим площадь полной поверхности этого цилиндра:

$S_б = 2\pi R_б(h + R_б) = 2\pi \cdot 0.01 \cdot (0.01 + 0.01) = 0.02\pi \cdot 0.02 = 0.0004\pi$ м².

Ответ: $0.0004\pi$ м².

12.18. Юрта

— древнейшее и в то же время современное жилище кочевников (рис. 12.14). Найдите площадь поверхности кереге (круглая вертикальная стена в форме боковой поверхности цилиндра), если ее диаметр 5 м, а высота равна 2 м.

Рис. 12.14

Дано

Диаметр кереге (основания цилиндра), $d = 5$ м

Высота кереге (цилиндра), $h = 2$ м

Найти:

Площадь поверхности кереге, $S_{бок}$

Решение

Кереге представляет собой круглую вертикальную стену, которая имеет форму боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле, использующей диаметр основания и высоту:

$S_{бок} = \pi d h$

где $d$ – диаметр основания, а $h$ – высота цилиндра.

Подставим данные из условия задачи в эту формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot 5 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 10\pi \text{ м}^2$

Таким образом, площадь поверхности кереге составляет $10\pi$ квадратных метров. Если использовать приближенное значение числа $\pi \approx 3.14$, то площадь будет равна:

$S_{бок} \approx 10 \cdot 3.14 = 31.4 \text{ м}^2$

В математических задачах принято оставлять ответ с символом $\pi$ для точности.

Ответ: площадь поверхности кереге равна $10\pi \text{ м}^2$.