Страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.13. Радиус основания конуса равен 1 см. Через середину высоты этого цилиндра проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения.

Дано:

Радиус основания конуса $R = 1 \text{ см}$.

Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная плоскости основания.

$R = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь получившегося сечения $S_{сеч}$.

Решение:

В условии задачи есть неточность: "...этого цилиндра". Судя по контексту и началу условия ("Радиус основания конуса..."), речь идет о конусе. Для цилиндра сечение, параллельное основанию, всегда было бы равно основанию, и задача не имела бы смысла в такой формулировке. Поэтому будем решать задачу для конуса.

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг. Чтобы найти площадь этого круга ($S_{сеч}$), необходимо определить его радиус, который мы обозначим как $r$.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно имеет форму равнобедренного треугольника. Высота конуса $H$ является высотой этого треугольника, а радиус основания $R$ — половиной его основания.

Плоскость, проходящая через середину высоты конуса, отсекает от него меньший конус, который подобен исходному. Высота малого (отсеченного) конуса $h$ равна половине высоты большого конуса $H$, так как сечение проведено через середину высоты:

$h = \frac{1}{2}H$

Коэффициент подобия $k$ малого конуса к большому равен отношению их высот:

$k = \frac{h}{H} = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение радиуса сечения $r$ к радиусу основания $R$ также равно коэффициенту подобия:

$\frac{r}{R} = k = \frac{1}{2}$

Зная радиус основания $R = 1 \text{ см}$, мы можем найти радиус сечения $r$:

$r = R \cdot k = 1 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 0.5 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь сечения, которая является площадью круга радиусом $r$, по формуле $S = \pi r^2$:

$S_{сеч} = \pi \cdot (0.5 \text{ см})^2 = \pi \cdot 0.25 \text{ см}^2 = \frac{\pi}{4} \text{ см}^2$

Альтернативный способ решения:

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Основание конуса и его сечение — это подобные фигуры (круги).

$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Сначала найдем площадь основания конуса $S_{осн}$:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2$

Затем найдем площадь сечения:

$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \frac{1}{4} = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4} \text{ см}^2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: площадь получившегося сечения равна $\frac{\pi}{4} \text{ см}^2$ (или $0.25\pi \text{ см}^2$).

13.14. Радиус основания цилиндра равен 1 см, образующая равна 2 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого является одно основание цилиндра, а вершиной — центр другого основания этого цилиндра (рис. 13.8).

Рис. 13.8

Дано:

Радиус основания цилиндра $R = 1$ см.

Образующая цилиндра $L_{цил} = 2$ см.

Найти:

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – это радиус основания конуса, а $l$ – длина его образующей.

Согласно условию, основание конуса является одним из оснований цилиндра, следовательно, их радиусы равны:

$r = R = 1$ см.

Вершина конуса находится в центре другого основания цилиндра. Это означает, что высота конуса $h$ равна высоте цилиндра, которая, в свою очередь, равна его образующей:

$h = L_{цил} = 2$ см.

Образующая конуса $l$, его высота $h$ и радиус основания $r$ формируют прямоугольный треугольник (см. рис. 13.8), в котором образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ – катетами. По теореме Пифагора:

$l^2 = r^2 + h^2$

Найдем длину образующей конуса $l$:

$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Теперь, имея все необходимые данные, вычислим площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{5} = \pi\sqrt{5}$ см².

Ответ: $\pi\sqrt{5}$ см².

13.15. Имеет ли конус:
а) центр симметрии;
б) ось симметрии;
в) плоскости симметрии?

а)

Центр симметрии – это такая точка, относительно которой любая точка фигуры симметрично отображается на другую точку той же фигуры. У конуса нет центра симметрии. Предположим, что такая точка существует. Тогда вершина конуса, как уникальная точка, должна была бы симметрично отобразиться на другую точку, принадлежащую конусу. Однако у вершины нет симметричной ей точки в пределах конуса. Если взять любую точку на оси конуса в качестве предполагаемого центра симметрии, то вершина конуса отобразится в точку вне конуса (либо под основанием, либо "внутри" конуса, но не на его поверхности, за исключением самой вершины). Аналогично, точкам на окружности основания не будет соответствовать симметричных точек на боковой поверхности. Следовательно, конус не имеет центра симметрии.

Ответ: нет.

б)

Ось симметрии – это прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол, отличный от $360^\circ$, фигура совмещается сама с собой. Для прямого кругового конуса такая ось есть, и она единственная. Это прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания (то есть, содержащая высоту конуса). При повороте вокруг этой оси на любой угол конус совмещается сам с собой. Других осей симметрии у конуса нет. При вращении вокруг любой другой оси форма и положение конуса изменятся.

Ответ: да, одну ось симметрии – прямую, содержащую его высоту.

в)

Плоскость симметрии – это плоскость, которая делит фигуру на две зеркально-симметричные части. У конуса есть плоскости симметрии. Любая плоскость, проходящая через ось конуса, является его плоскостью симметрии. Сечением конуса такой плоскостью является равнобедренный треугольник, и эта плоскость делит конус на две равные, зеркально симметричные части. Поскольку через ось конуса (прямую) можно провести бесконечное множество плоскостей, конус имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.

Ответ: да, бесконечное множество плоскостей симметрии. Каждая такая плоскость проходит через ось конуса.

13.16. Какая фигура получается при вращении остроугольного неравно- бедренного треугольника вокруг прямой, содержащей его высоту (рис. 13.9)?

a C

A B

Рис. 13.9

Решение

Рассмотрим остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $CH$ — его высота, проведенная к стороне $AB$. Прямая, содержащая высоту $CH$, является осью вращения, как показано на рисунке 13.9.

Поскольку треугольник $ABC$ является остроугольным, основание высоты, точка $H$, лежит внутри отрезка $AB$. Таким образом, высота $CH$ делит исходный треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$. Эти два треугольника имеют общий катет $CH$, который лежит на оси вращения.

Тело вращения, полученное при вращении треугольника $ABC$ вокруг оси $CH$, является объединением двух тел, образованных вращением каждого из этих прямоугольных треугольников вокруг той же оси $CH$.

Вращение прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ вокруг своего катета $CH$ образует конус. Вершина этого конуса находится в точке $C$, высота равна длине отрезка $CH$, а радиус основания равен длине катета $AH$.

Аналогично, вращение прямоугольного треугольника $\triangle BHC$ вокруг своего катета $CH$ также образует конус. Его вершина также находится в точке $C$, высота равна $CH$, а радиус основания равен длине катета $BH$.

Итак, мы имеем два конуса с общей вершиной $C$, общей высотой $CH$, лежащей на оси вращения. Их основания — это круги, которые лежат в одной плоскости (перпендикулярной оси $CH$) и имеют общий центр в точке $H$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является неравнобедренным. Это означает, что его стороны не равны, в частности $AC \neq BC$. Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$BC^2 = BH^2 + CH^2$
Так как $AC \neq BC$, то и $AC^2 \neq BC^2$. Из этого следует, что $AH^2 + CH^2 \neq BH^2 + CH^2$, что приводит к выводу $AH^2 \neq BH^2$. Поскольку длины отрезков положительны, получаем $AH \neq BH$.

Это означает, что радиусы оснований двух образованных конусов не равны. Пусть, для определенности, радиус $BH$ больше радиуса $AH$. В этом случае конус, образованный вращением треугольника $\triangle AHC$, будет полностью содержаться внутри конуса, образованного вращением треугольника $\triangle BHC$.

Тело вращения, являющееся объединением этих двух конусов, будет совпадать с бóльшим из них. Таким образом, итоговая фигура представляет собой конус.

Ответ: Конус.

13.17. Какая фигура получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его гипотенузу (рис. 13.10)?

Рис. 13.10

Решение

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Осью вращения является прямая, содержащая гипотенузу $AB$.

При вращении треугольника вокруг этой оси, точки $A$ и $B$, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Они станут вершинами будущего тела вращения.

Вершина прямого угла $C$ не лежит на оси вращения. При вращении треугольника вокруг гипотенузы $AB$, точка $C$ будет двигаться по окружности. Плоскость этой окружности перпендикулярна оси вращения (гипотенузе $AB$). Центром этой окружности будет основание высоты $H$, опущенной из вершины $C$ на гипотенузу $AB$. Радиус этой окружности будет равен длине высоты $CH$.

Каждый из катетов ($AC$ и $BC$) при вращении образует боковую поверхность конуса.

Вращение катета $AC$ вокруг отрезка $AH$ на оси вращения образует первый конус. Его вершина — точка $A$, основание — окружность, описанная точкой $C$, высота — отрезок $AH$, а образующая — катет $AC$.

Вращение катета $BC$ вокруг отрезка $BH$ на оси вращения образует второй конус. Его вершина — точка $B$, основание — та же самая окружность, описанная точкой $C$, высота — отрезок $BH$, а образующая — катет $BC$.

В результате получается тело, состоящее из двух конусов, соединенных своими основаниями.

Ответ: Фигура, которая получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его гипотенузу, состоит из двух конусов с общим основанием.

13.18. Какая фигура получается при вращении единичного квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ (рис. 13.11)? Найдите площадь ее поверхности.

Рис. 13.11

Какая фигура получается при вращении единичного квадрата вокруг прямой, содержащей его диагональ?

При вращении квадрата вокруг его диагонали образуется тело вращения. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника. Вращение каждого из этих треугольников вокруг одного из катетов (который лежит на оси вращения) создает конус. Таким образом, итоговая фигура состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Общая ось симметрии конусов совпадает с диагональю квадрата, а общее основание — это круг, который описывает вторая диагональ квадрата при вращении.

Ответ: Фигура, состоящая из двух одинаковых конусов, соединенных основаниями.

Найдите площадь ее поверхности.

Дано:
Сторона единичного квадрата $a = 1$.
Ось вращения — прямая, содержащая диагональ квадрата.

Найти:
Площадь поверхности тела вращения $S_{пов}$.

Решение:
Площадь поверхности полученного тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов, из которых оно состоит. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.
1. Образующая ($l$) каждого конуса равна стороне квадрата. Таким образом, $l = a = 1$.
2. Радиус ($r$) общего основания конусов равен половине длины второй диагонали квадрата. Длину диагонали ($d$) квадрата со стороной $a$ можно найти по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
Поскольку $a = 1$, то $d = \sqrt{2}$.
Радиус основания $r$ равен половине диагонали: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Теперь можем найти площадь боковой поверхности одного конуса:
$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$.
4. Полная площадь поверхности тела вращения состоит из площадей боковых поверхностей двух таких конусов:
$S_{пов} = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \pi\sqrt{2}$.

Ответ: Площадь поверхности равна $\pi\sqrt{2}$ квадратных единиц.