Номер 13.16, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.16. Какая фигура получается при вращении остроугольного неравно- бедренного треугольника вокруг прямой, содержащей его высоту (рис. 13.9)?

a C

A B

Рис. 13.9

Решение

Рассмотрим остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $CH$ — его высота, проведенная к стороне $AB$. Прямая, содержащая высоту $CH$, является осью вращения, как показано на рисунке 13.9.

Поскольку треугольник $ABC$ является остроугольным, основание высоты, точка $H$, лежит внутри отрезка $AB$. Таким образом, высота $CH$ делит исходный треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$. Эти два треугольника имеют общий катет $CH$, который лежит на оси вращения.

Тело вращения, полученное при вращении треугольника $ABC$ вокруг оси $CH$, является объединением двух тел, образованных вращением каждого из этих прямоугольных треугольников вокруг той же оси $CH$.

Вращение прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ вокруг своего катета $CH$ образует конус. Вершина этого конуса находится в точке $C$, высота равна длине отрезка $CH$, а радиус основания равен длине катета $AH$.

Аналогично, вращение прямоугольного треугольника $\triangle BHC$ вокруг своего катета $CH$ также образует конус. Его вершина также находится в точке $C$, высота равна $CH$, а радиус основания равен длине катета $BH$.

Итак, мы имеем два конуса с общей вершиной $C$, общей высотой $CH$, лежащей на оси вращения. Их основания — это круги, которые лежат в одной плоскости (перпендикулярной оси $CH$) и имеют общий центр в точке $H$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является неравнобедренным. Это означает, что его стороны не равны, в частности $AC \neq BC$. Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
$BC^2 = BH^2 + CH^2$
Так как $AC \neq BC$, то и $AC^2 \neq BC^2$. Из этого следует, что $AH^2 + CH^2 \neq BH^2 + CH^2$, что приводит к выводу $AH^2 \neq BH^2$. Поскольку длины отрезков положительны, получаем $AH \neq BH$.

Это означает, что радиусы оснований двух образованных конусов не равны. Пусть, для определенности, радиус $BH$ больше радиуса $AH$. В этом случае конус, образованный вращением треугольника $\triangle AHC$, будет полностью содержаться внутри конуса, образованного вращением треугольника $\triangle BHC$.

Тело вращения, являющееся объединением этих двух конусов, будет совпадать с бóльшим из них. Таким образом, итоговая фигура представляет собой конус.

Ответ: Конус.