Номер 13.21, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.21. Какая фигура получится при вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту (рис. 13.13)?

Рис. 13.13

Решение

Рассмотрим процесс вращения правильной шестиугольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту. Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $ABCDEF$ — ее основание, которое является правильным шестиугольником. Пусть $O$ — центр этого шестиугольника. Тогда высота пирамиды — это отрезок $SO$, а прямая, содержащая высоту, является осью вращения.

Тело вращения — это геометрическое тело, которое образуется при вращении какой-либо фигуры вокруг оси. Чтобы определить, какая фигура получится, проанализируем, во что превратятся ключевые элементы пирамиды при вращении.

1. Вершина пирамиды. Вершина $S$ лежит на оси вращения $SO$, поэтому при вращении она остается неподвижной. Эта точка станет вершиной итоговой фигуры.

2. Основание пирамиды. Основание пирамиды — это правильный шестиугольник $ABCDEF$. При вращении вокруг своего центра $O$, каждая точка на периметре и внутри шестиугольника описывает окружность или остается на месте (точка $O$). Все вершины основания ($A, B, C, D, E, F$) равноудалены от центра $O$, так как шестиугольник правильный. Это значит, что все они лежат на одной окружности, которая является описанной около шестиугольника. При вращении эта окружность формирует границу, а весь шестиугольник заметает сплошной круг. Этот круг и будет основанием фигуры вращения.

3. Боковая поверхность. Боковая поверхность пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников. Рассмотрим любое боковое ребро, например, $SA$. Это отрезок, соединяющий вершину $S$ с одной из вершин основания $A$. При вращении вокруг оси $SO$, точка $S$ остается на месте, а точка $A$ описывает окружность в плоскости основания. Таким образом, отрезок $SA$ (называемый образующей) описывает коническую поверхность. Поскольку в правильной пирамиде все боковые ребра равны ($SA = SB = SC = \dots$), все они при вращении опишут одну и ту же коническую поверхность. Эта поверхность и будет боковой поверхностью итоговой фигуры.

Соединив эти части, мы получаем фигуру, у которой основанием является круг, а боковая поверхность — коническая. Такая фигура по определению является конусом.

Параметры полученного конуса напрямую связаны с параметрами исходной пирамиды:

• Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.
• Высота конуса равна высоте пирамиды.
• Основание конуса — это круг, описанный вокруг основания пирамиды.
• Радиус основания конуса равен расстоянию от центра основания пирамиды до любой его вершины (то есть радиусу описанной окружности).
• Образующая конуса равна длине бокового ребра пирамиды.

Ответ: Конус.