Страница 89 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая фигура называется усеченным конусом?

2. Что называется основаниями усеченного конуса?

3. Что называется высотой усеченного конуса?

4. Что называется осью усеченного конуса?

5. Что называется осевым сечением усеченного конуса?

6. Какая фигура называется разверткой усеченного конуса?

7. Что называется площадью поверхности усеченного конуса?

8. Что называется площадью боковой поверхности усеченного конуса?

9. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

10. Выведите формулу площади полной поверхности усеченного конуса.

Какая фигура называется усеченным конусом?

Усеченный конус — это геометрическое тело, которое является частью полного конуса и заключено между его основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию. Также усеченный конус можно получить, вращая прямоугольную трапецию вокруг её боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Ответ: Фигура, являющаяся частью конуса, расположенной между его основанием и плоскостью, параллельной основанию.

2. Что называется основаниями усеченного конуса?

Основаниями усеченного конуса являются два круга, лежащие в параллельных плоскостях. Один из них — это основание исходного (полного) конуса, а второй — это сечение конуса плоскостью, параллельной основанию. Ответ: Два круга (основание исходного конуса и сечение), лежащие в параллельных плоскостях.

3. Что называется высотой усеченного конуса?

Высотой усеченного конуса называется отрезок, перпендикулярный обоим основаниям, концы которого лежат в плоскостях оснований. Чаще всего рассматривают отрезок, соединяющий центры оснований. Длина этого отрезка и есть высота. Ответ: Расстояние между плоскостями его оснований.

4. Что называется осью усеченного конуса?

Осью усеченного конуса называется прямая, которая проходит через центры его верхнего и нижнего оснований. Эта ось совпадает с осью исходного полного конуса. Ответ: Прямая, проходящая через центры оснований усеченного конуса.

5. Что называется осевым сечением усеченного конуса?

Осевым сечением усеченного конуса называется сечение, которое проходит через его ось. Такое сечение всегда представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой служат диаметры оснований усеченного конуса, а боковыми сторонами — его образующие. Ответ: Сечение усеченного конуса плоскостью, проходящей через его ось, имеющее форму равнобедренной трапеции.

6. Какая фигура называется разверткой усеченного конуса?

Разверткой усеченного конуса на плоскости является фигура, состоящая из двух кругов (оснований) и боковой поверхности, которая представляет собой часть кругового кольца. Ответ: Фигура, состоящая из двух кругов и части кругового кольца.

7. Что называется площадью поверхности усеченного конуса?

Площадью полной поверхности усеченного конуса называется сумма площадей его двух оснований (верхнего и нижнего) и площади его боковой поверхности. Ответ: Сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

8. Что называется площадью боковой поверхности усеченного конуса?

Площадью боковой поверхности усеченного конуса называется площадь его криволинейной поверхности, которая соединяет окружности оснований. Ответ: Площадь его криволинейной поверхности, без учета площадей оснований.

9. Выведите формулу площади боковой поверхности усеченного конуса.

Решение

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти как разность площадей боковых поверхностей двух конусов: большого (из которого получен усеченный конус) и малого (который был отсечен). Пусть $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, $l$ — образующая усеченного конуса. Пусть $L_1$ и $L_2$ — образующие большого и малого конусов соответственно. Тогда $l = L_1 - L_2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S = \pi \cdot (\text{радиус}) \cdot (\text{образующая})$.

Следовательно, площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ равна:

$S_{бок} = \pi R L_1 - \pi r L_2$

Рассмотрим осевое сечение. Оно состоит из двух подобных треугольников (по свойству сечения конуса плоскостью, параллельной основанию). Из подобия следует: $\frac{L_2}{L_1} = \frac{r}{R}$, откуда $L_2 = L_1 \frac{r}{R}$.

Подставим это в выражение для $l$: $l = L_1 - L_1 \frac{r}{R} = L_1 \frac{R-r}{R}$. Отсюда можно выразить $L_1 = l \frac{R}{R-r}$.

Аналогично, $L_2 = L_1 - l = l \frac{R}{R-r} - l = l(\frac{R - (R-r)}{R-r}) = l \frac{r}{R-r}$.

Теперь подставим выражения для $L_1$ и $L_2$ в формулу площади:

$S_{бок} = \pi R \left(l \frac{R}{R-r}\right) - \pi r \left(l \frac{r}{R-r}\right) = \frac{\pi l}{R-r} (R^2 - r^2)$

Так как $R^2 - r^2 = (R-r)(R+r)$, формула упрощается:

$S_{бок} = \frac{\pi l (R-r)(R+r)}{R-r} = \pi l (R+r)$.

Ответ: $S_{бок} = \pi l (R+r)$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — образующая усеченного конуса.

10. Выведите формулу площади полной поверхности усеченного конуса.

Решение

Площадь полной поверхности усеченного конуса ($S_{полн}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площадей двух его оснований: большего ($S_{осн1}$) и меньшего ($S_{осн2}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

Площадь большего основания, являющегося кругом радиуса $R$, равна $S_{осн1} = \pi R^2$.

Площадь меньшего основания, являющегося кругом радиуса $r$, равна $S_{осн2} = \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности, как было выведено в предыдущем пункте, равна $S_{бок} = \pi l (R+r)$.

Суммируя все три компонента, получаем итоговую формулу:

$S_{полн} = \pi l (R+r) + \pi R^2 + \pi r^2$.

Эту формулу также можно записать как $S_{полн} = \pi (l(R+r) + R^2 + r^2)$.

Ответ: $S_{полн} = \pi l (R+r) + \pi R^2 + \pi r^2$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — образующая усеченного конуса.

14.1. На листе бумаги в клетку изобразите усеченный конус, аналогичный данному на рисунке 14.4. Изобразите его осевое сечение.

Рис. 14.4

Решение:

Задача состоит из двух последовательных действий: сначала нужно изобразить усеченный конус по заданным в рисунке пропорциям, а затем изобразить его осевое сечение.

1. Построение усеченного конуса.
Анализируя рисунок 14.4, можно определить размеры усеченного конуса в единицах сетки (клетках):

• Диаметр нижнего основания составляет 6 клеток, значит его радиус $R = 3$ клетки.
• Диаметр верхнего основания составляет 4 клетки, значит его радиус $r = 2$ клетки.
• Высота конуса (расстояние между основаниями) $h = 4$ клетки.

1. Наметить центр нижнего основания $O_1$.
2. Изобразить нижнее основание в виде эллипса с центром в $O_1$ и горизонтальной осью длиной 6 клеток. Видимую (ближнюю) часть эллипса нарисовать сплошной линией, а невидимую (дальнюю) — штриховой.
3. Отступить от точки $O_1$ на 4 клетки вверх и отметить центр верхнего основания $O_2$.
4. Изобразить верхнее основание в виде эллипса с центром в $O_2$ и горизонтальной осью длиной 4 клетки. Этот эллипс виден полностью, поэтому его рисуют сплошной линией.
5. Соединить концы горизонтальных осей оснований прямыми линиями. Эти линии являются образующими усеченного конуса.

2. Построение осевого сечения.
Осевое сечение — это фигура, получаемая при пересечении тела вращения плоскостью, проходящей через его ось. Для усеченного конуса осевым сечением является равнобокая трапеция.
Размеры этой трапеции определяются параметрами конуса:

• Нижнее основание трапеции равно диаметру нижнего основания конуса: $2R = 2 \cdot 3 = 6$ клеток.
• Верхнее основание трапеции равно диаметру верхнего основания конуса: $2r = 2 \cdot 2 = 4$ клетки.
• Высота трапеции равна высоте конуса: $h = 4$ клетки.

1. Чертим нижнее основание — горизонтальный отрезок длиной 6 клеток.
2. Из середины этого отрезка проводим вверх перпендикуляр (высоту) длиной 4 клетки.
3. Через верхний конец высоты проводим второй горизонтальный отрезок (верхнее основание) длиной 4 клетки, симметрично относительно высоты.
4. Соединяем концы оснований, получая боковые стороны трапеции.

Ответ:

Изображение усеченного конуса, аналогичного данному, и его осевого сечения представлены на рисунках выше в ходе решения.

14.2. Сколько образующих имеет усеченный конус?

Усеченный конус представляет собой геометрическое тело, которое получается из обычного конуса путем отсечения его верхней части плоскостью, параллельной основанию. Боковая поверхность усеченного конуса состоит из отрезков, которые называются образующими.

Образующая усеченного конуса — это отрезок прямой, соединяющий соответствующую точку на окружности верхнего основания с точкой на окружности нижнего основания. Все образующие усеченного конуса имеют одинаковую длину.

Чтобы определить количество образующих, нужно рассмотреть основания усеченного конуса. Каждое основание является кругом, а его граница — окружностью. Окружность состоит из бесконечного множества точек. Для каждой точки, лежащей на окружности одного основания, существует соответствующая ей точка на окружности другого основания. Отрезок, соединяющий эти две точки, и является образующей.

Так как на окружностях оснований находится бесконечное число точек, то и число отрезков (образующих), которые можно провести между ними, также бесконечно.

Ответ: Усеченный конус имеет бесконечное множество образующих.

14.3. Какой фигурой является сечение конуса плоскостью, параллельной основанию?

Решение:
Пусть дан конус с вершиной в точке $S$ и основанием, которое представляет собой круг, лежащий в плоскости $\alpha$.
Секущая плоскость $\beta$ параллельна плоскости основания $\alpha$.
Фигура, образующаяся в сечении, будет подобна основанию конуса. Так как основание конуса — это круг, то и сечение будет кругом.
Это можно доказать строго.
Пусть $O$ — центр круга основания, $R$ — его радиус. Высота конуса — это отрезок $SO$. Плоскость $\beta$ пересекает высоту в точке $O_1$.
Рассмотрим произвольную точку $A$ на окружности основания. Образующая $SA$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $A_1$.
Рассмотрим треугольники $\triangle SO_1A_1$ и $\triangle SOA$. Они подобны, так как $\angle S$ — общий, а $\angle SO_1A_1 = \angle SOA$ как соответственные углы при параллельных прямых $O_1A_1$ и $OA$ (лежащих в параллельных плоскостях $\beta$ и $\alpha$) и секущей $SO$.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
$ \frac{SO_1}{SO} = \frac{O_1A_1}{OA} $
Пусть коэффициент подобия $k = \frac{SO_1}{SO}$. Тогда радиус сечения $r = O_1A_1$ выражается через радиус основания $R = OA$:
$ r = O_1A_1 = \frac{SO_1}{SO} \cdot OA = k \cdot R $
Поскольку расстояние от точки $O_1$ до любой точки $A_1$ на границе сечения постоянно и равно $r = kR$, то сечение является кругом с центром в $O_1$ и радиусом $r$.

Ответ: Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является кругом.

14.4. Какая фигура получается вращением равнобедренной трапеции вокруг прямой, проходящей через середины ее оснований (рис. 14.5)?

Рис. 14.5

Решение:

Тело, которое получается в результате вращения плоской фигуры вокруг оси, лежащей в той же плоскости, называется телом вращения. В данном случае вращается равнобедренная трапеция ABCD вокруг прямой a, проходящей через середины её оснований DC и AB. Для равнобедренной трапеции такая прямая является её осью симметрии.

Проанализируем, какие поверхности образуют стороны трапеции при вращении вокруг оси a:

1. Основания трапеции DC и AB перпендикулярны оси вращения. При вращении они "заметают" два параллельных круга, которые становятся основаниями полученного тела. Радиус верхнего, меньшего, основания тела будет равен половине длины основания трапеции DC, то есть $r_1 = \frac{DC}{2}$. Радиус нижнего, большего, основания тела будет равен половине длины основания AB, то есть $r_2 = \frac{AB}{2}$. Поскольку в трапеции длины оснований различны ($AB \neq DC$), то и радиусы кругов будут разными.

2. Боковая сторона трапеции, например, BC, является отрезком, наклонённым к оси вращения. При вращении такой отрезок описывает боковую поверхность конуса. Так как трапеция равнобедренная, вторая боковая сторона AD симметрична стороне BC относительно оси a и при вращении описывает ту же самую поверхность.

В результате объединения этих поверхностей мы получаем трёхмерное тело, ограниченное двумя параллельными кругами разного радиуса (основаниями) и кривой боковой поверхностью. Такая геометрическая фигура называется усечённым конусом.

Ответ: Усечённый конус.