Номер 12.13, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.13. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением единичного куба вокруг прямой:

а) $AA_1$;

б) соединяющей центры его противоположных граней (рис. 12.11).

Рис. 12.11

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$, получающегося вращением куба вокруг:

а) прямой $AA_1$;

б) прямой, соединяющей центры его противолежащих граней.

Решение:

Формула для нахождения площади боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ – радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

а)

Рассмотрим вращение единичного куба вокруг прямой, содержащей его ребро $AA_1$.

Высота цилиндра $H$ в этом случае будет равна длине ребра, являющегося осью вращения.

$H = AA_1 = a = 1$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен наибольшему расстоянию от точек куба до оси вращения $AA_1$. Наиболее удаленной от ребра $AA_1$ является противоположное ему ребро $CC_1$. Расстояние от оси $AA_1$ до любой точки на ребре $CC_1$ равно длине диагонали грани куба. Возьмем, к примеру, расстояние от точки $A$ на оси вращения до точки $C$. Это диагональ квадрата $ABCD$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$, $AB = 1$, $BC = 1$):

$R = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}\pi$.

Ответ: $2\sqrt{2}\pi$.

б)

Рассмотрим вращение единичного куба вокруг прямой, соединяющей центры его противоположных граней (например, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$). Эта прямая является осью симметрии куба и параллельна его боковым ребрам.

Высота цилиндра $H$ будет равна расстоянию между центрами граней, что равно длине ребра куба.

$H = a = 1$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен наибольшему расстоянию от точек куба до оси вращения. Ось вращения проходит через центры оснований, поэтому наиболее удаленными точками будут вершины куба (и, соответственно, боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$). Расстояние от оси до любой из этих вершин будет одинаковым. Найдем это расстояние как расстояние от центра квадрата $ABCD$ до одной из его вершин, например, до вершины $A$. Это расстояние равно половине диагонали квадрата.

Длина диагонали грани $AC = \sqrt{2}$ (из пункта а).

Радиус основания цилиндра:

$R = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \sqrt{2}\pi$.

Ответ: $\sqrt{2}\pi$.