Номер 12.11, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.11. Имеет ли цилиндр:

а) центр симметрии;

б) оси симметрии;

в) плоскости симметрии?

а) центр симметрии

Да, прямой круговой цилиндр имеет центр симметрии. Центром симметрии называется точка, относительно которой фигура симметрична. Для цилиндра такой точкой является середина его оси — отрезка, соединяющего центры его круговых оснований.

Если мы выберем любую точку $M$ на поверхности цилиндра (на боковой поверхности или на одном из оснований) и найдем точку $M'$, симметричную ей относительно середины оси цилиндра, то точка $M'$ также будет принадлежать поверхности цилиндра. Например, точка на окружности верхнего основания симметрично отобразится в точку на окружности нижнего основания.

Ответ: Да, цилиндр имеет центр симметрии, который является серединой его оси.

б) оси симметрии

Да, цилиндр имеет оси симметрии. Осью симметрии называется прямая, при повороте вокруг которой фигура совмещается сама с собой.

У цилиндра существует бесконечное множество осей симметрии:

1. Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований. При повороте вокруг этой оси на любой угол цилиндр отображается сам на себя. Это ось симметрии бесконечного порядка.

2. Прямые, перпендикулярные оси цилиндра и проходящие через его центр симметрии. Любая прямая, лежащая в плоскости, которая перпендикулярна оси цилиндра и делит её пополам, и проходящая через центр симметрии, является осью симметрии. При повороте на $180^\circ$ вокруг любой такой прямой цилиндр совмещается сам с собой. Таких прямых бесконечно много.

Ответ: Да, у цилиндра есть ось симметрии, совпадающая с осью самого цилиндра, а также бесконечное множество осей симметрии, перпендикулярных оси цилиндра и проходящих через его центр симметрии.

в) плоскости симметрии

Да, цилиндр имеет плоскости симметрии. Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга.

У цилиндра существует бесконечное множество плоскостей симметрии:

1. Плоскости, проходящие через ось цилиндра. Любая плоскость, которая содержит ось цилиндра, является его плоскостью симметрии. Так как через прямую (ось) можно провести бесконечное множество плоскостей, то и таких плоскостей симметрии бесконечно много.

2. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра и проходящая через его центр симметрии. Эта плоскость делит цилиндр на две равные симметричные части. Такая плоскость только одна.

Ответ: Да, у цилиндра есть одна плоскость симметрии, перпендикулярная его оси и проходящая через её середину, а также бесконечное множество плоскостей симметрии, проходящих через его ось.