Номер 12.15, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.15. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, получающегося вращением правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой:

а) содержащей боковое ребро;

б) проходящей через центры ее оснований (рис. 12.12).

Рис. 12.12

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением.

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi RH$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

a) содержащей боковое ребро

Пусть осью вращения является прямая, содержащая боковое ребро, например, $CC_1$.

Высота получающегося цилиндра $H$ равна высоте призмы, то есть длине бокового ребра: $H = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен наибольшему расстоянию от точек призмы до оси вращения $CC_1$. В основании призмы лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной 1 см. Наиболее удаленными от оси $CC_1$ являются точки, лежащие на ребре $AA_1$. Расстояние от любой точки на ребре $AA_1$ до оси $CC_1$ равно длине стороны основания $AC$.

Так как все ребра призмы равны 1 см, то $AC = 1$ см. Следовательно, радиус цилиндра $R = 1$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ (см$^2$).

Ответ: $2\pi$ см$^2$.

б) проходящей через центры ее оснований

Осью вращения является прямая, проходящая через центры оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Эта прямая является осью симметрии правильной призмы.

Высота получающегося цилиндра $H$ равна высоте призмы: $H = 1$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен расстоянию от оси вращения до вершин призмы. Это расстояние равно радиусу окружности, описанной около основания призмы. Основание — правильный треугольник со стороной $a = 1$ см.

Радиус описанной окружности для правильного треугольника вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляя значение $a=1$ см, получаем:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi RH = 2\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$ (см$^2$).

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S_{бок} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ (см$^2$).

Ответ: $\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^2$.